Q1: Uma placa cerâmica (A) precisa passar por um procedimento para tratamento térmico, para isso a temperatura da face cerâmica, em contato com a placa aquecedora, deve ser igual a 150^{\circ} \mathrm{C}. Para manter essa temperatura, a placa cerâmica é aquecida por contato com a placa aquecedora (B), esse dispositivo é atravessado por uma corrente de 3 A, que gera uma taxa de calor uniforme unidade de volume. A face superior da camada cerâmica está em contato com o ar a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Já a face interior da placa aquecedora está perfeitamente isolada. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção do ar é igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{* \circ} \mathrm{C} e que a resistência de contato entre as duas camadas é desprezivel calcule:
  1. a temperatura da camada cerâmica em contato com o ar;
  2. a quantidade de calor gerada na placa aquecedora;
  3. a temperatura da camada inferior da placa aquecedora.
Considere os seguintes dados: A área total do conjunto (D) igual a 4 m ?; Espessura total do conjunto (L) igual a 10 cm , sendo a espessura da placa cerâmica corresponde a 50% desse total; condutividade térmica da placa cerâmica igual a 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e da placa aquecedora igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
  • Área total do conjunto: A=4\\ \mathrm{m}^2.
  • Espessura total: L=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • A espessura da placa cerâmica corresponde a 50\% do total, portanto:
    • Espessura da cerâmica: L_{\rm c}=0{,}50\cdot L=0{,}05\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da placa aquecedora: L_{\rm h}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da face cerâmica em contato com a placa aquecedora (interface cerâmica–aquecedor): T_{\rm int}=150^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar: T_\infty=30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção do ar: h=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica da cerâmica: k_{\rm c}=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica da placa aquecedora: k_{\rm h}=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}.
  • A face interior da placa aquecedora (a face inferior externa) está perfeitamente isolada (fluxo de calor nulo nessa face).
  • A placa aquecedora é atravessada por uma corrente de 3\\ \mathrm{A} que gera calor de forma uniforme por volume (o enunciado pede a quantidade de calor gerada — interpretarei isso como potência total gerada e, quando útil, como taxa volumétrica de geração).
O enunciado pede:
  1. A temperatura da face superior da camada cerâmica (a superfície que está em contato com o ar).
  2. A quantidade de calor gerada na placa aquecedora (potência total gerada).
  3. A temperatura da face inferior da placa aquecedora (a superfície interna isolada).
Observação: a resistência de contato entre as duas camadas é desprezível, então as temperaturas das duas superfícies em contato são iguais (interface em 150^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Estratégia física (sem cálculos ainda), explicada de forma simples:
  • No regime estacionário e em uma aproximação unidimensional (válida porque as áreas são grandes em relação às espessuras), o calor gerado na placa aquecedora só pode subir para a cerâmica e, daí, ser transferido por convecção para o ar. Como a face inferior do aquecedor é isolada, todo o calor gerado por unidade de área no aquecedor sai pela sua face superior e atravessa a cerâmica até o ar.
  • Vamos aplicar:
    • Lei de Fourier para condução unidimensional na cerâmica (fluxo condutivo constante através da cerâmica).
    • Lei de Newton do resfriamento (convecção) na superfície exposta ao ar.
    • Continuidade de fluxo na interface: fluxo condutivo através da cerâmica = fluxo convectivo para o ar.
  • Com isso determinamos a temperatura da superfície externa da cerâmica. Em seguida obtemos o fluxo de calor por unidade de área q'', multiplicamos por A para obter a potência total gerada \dot{Q}. Finalmente usamos o modelo analítico para a placa aquecedora com geração volumétrica uniforme e fronteira inferior isolada para obter a temperatura da face inferior.
Antes de aplicar as fórmulas, definimos as variáveis:
  • T_{\rm s}: temperatura da superfície superior da cerâmica (em contato com o ar) — é o que pedem em (1).
  • q'': fluxo de calor por unidade de área que sai para o ar (W/m²).
  • \dot{Q}: potência total gerada na placa aquecedora (W).
  • q''': taxa de geração volumétrica na placa aquecedora (W/m³).

Passo 3

Equações fundamentais (aulas rápidas e explicadas):
  1. Lei de Fourier (condução unidimensional, constante k):
q'' = -k\frac{dT}{dx}.
Aqui, para uma lâmina com temperatura conhecida nas faces e condutividade constante, o fluxo por unidade de área pode ser escrito em forma integral simples como
q'' = k\frac{T_{\rm inferior}-T_{\rm superior}}{L},
mas atenção ao sinal — vamos usar magnitudes e a convenção de que o calor vai de temperaturas maiores para menores.
Para a cerâmica: o fluxo que atravessa a cerâmica do lado da interface (temperatura T_{\rm int}=150^\circ\mathrm{C}) até a superfície superior T_{\rm s} é
q'' = k_{\rm c}\,\frac{T_{\rm int}-T_{\rm s}}{L_{\rm c}}.
Explicação: k_{\rm c} é condutividade; T_{\rm int}-T_{\rm s} é a diferença de temperatura ao longo da espessura L_{\rm c}; o resultado tem unidades W/m².
  1. Lei de Newton para convecção na superfície exposta:
q'' = h\,(T_{\rm s}-T_\infty).
Explicação: a taxa de transferência por área depende do coeficiente h e da diferença de temperatura entre superfície e fluido.
  1. Condição de continuidade do fluxo na interface (sem geração na cerâmica): os dois fluxos são iguais, logo
k_{\rm c}\,\frac{T_{\rm int}-T_{\rm s}}{L_{\rm c}} = h\,(T_{\rm s}-T_\infty).
Dessa equação basta isolar T_{\rm s}.

Passo 4

Resolver a equação para T_{\rm s}.
Partindo de
k_{\rm c}\,\frac{T_{\rm int}-T_{\rm s}}{L_{\rm c}} = h\,(T_{\rm s}-T_\infty),
organizo para obter T_{\rm s}:
\frac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}}\,T_{\rm int} - \frac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}}\,T_{\rm s} = h\,T_{\rm s}-h\,T_\infty,
\left(\frac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}}+h\right)T_{\rm s} = \frac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}}\,T_{\rm int} + h\,T_\infty,
portanto
T_{\rm s} = \frac{\dfrac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}}\,T_{\rm int} + h\,T_\infty}{\dfrac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}}+h}.
Aqui cada termo significa:
  • \dfrac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}} é a condutância térmica por unidade de área da cerâmica (W/m²K).
  • h é a condutância convectiva por unidade de área (W/m²K).

Passo 5

Cálculo numérico de T_{\rm s} (fazendo contas passo a passo):
Primeiro calcule k_{\rm c}/L_{\rm c}:
\frac{k_{\rm c}}{L_{\rm c}} = \frac{100}{0{,}05}=2000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}.
Agora aplique a fórmula:
T_{\rm s} = \frac{2000\cdot 150 + 15\cdot 30}{2000 + 15}.
Calcule numeradores:
2000\cdot150 = 300000,\qquad 15\cdot30 = 450,
\text{numerador} = 300000+450=300450.
Denominador:
2000+15=2015.
Logo
T_{\rm s} = \frac{300450}{2015}\approx 149{,}1067^\circ\mathrm{C}.
Arredondando convenientemente:
T_{\rm s}\approx 149{,}11^\circ\mathrm{C}.
Comentário curto: a queda de temperatura na cerâmica é pequena porque a cerâmica tem alta condutividade e espessura pequena; portanto a superfície fica muito próxima de 150^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q''.
Usando convecção:
q'' = h\,(T_{\rm s}-T_\infty)=15\cdot(149{,}1067-30)=15\cdot119{,}1067\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
q''\approx 1786{,}6005\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Verificação usando condução na cerâmica:
q'' = k_{\rm c}\frac{T_{\rm int}-T_{\rm s}}{L_{\rm c}}=100\cdot\frac{150-149{,}1067}{0{,}05}\approx 100\cdot\frac{0{,}8933}{0{,}05}=100\cdot17{,}866\approx 1786{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2,
confirmação consistente.

Passo 7

Potência total gerada na placa aquecedora ( \dot{Q}):
Toda a potência gerada no aquecedor sai para o ar (regime estacionário e face inferior isolada), então
\dot{Q}=q''\cdot A.
Substituindo números:
\dot{Q}=1786{,}6005\cdot 4 \approx 7146{,}402\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
\dot{Q}\approx 7146{,}40\\ \mathrm{W}.
Também é útil obter a taxa volumétrica de geração q''' (W/m³) na placa aquecedora, já que o enunciado fala em geração uniforme por volume. Pela conservação de energia, com a face inferior isolada, o fluxo por unidade de área no topo do aquecedor é igual à geração volumétrica vezes a espessura:
q''=q'''\,L_{\rm h}\quad\Rightarrow\quad q'''=\frac{q''}{L_{\rm h}}.
Calculando:
q'''=\frac{1786{,}6005}{0{,}05}\approx 35732{,}01\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.

Passo 8

Temperatura da face inferior da placa aquecedora (a face isolada), usando o perfil de temperatura com geração volumétrica uniforme.
Modelo e dedução rápida (passo-a-passo):
  • Considerar o eixo x positivo para baixo ao longo da placa aquecedora, com x=0 na face superior (interface, onde T(0)=T_{\rm int}=150^\circ\mathrm{C}) e x=L_{\rm h} na face inferior isolada.
  • A equação diferencial de equilíbrio para condução unidimensional com geração volumétrica uniforme q''' é
\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{q'''}{k_{\rm h}}.
  • Integrando duas vezes e aplicando condição de fluxo nulo na face inferior ( dT/dx|_{x=L_{\rm h}}=0) e valor de temperatura conhecido em x=0, obtém-se a temperatura na face inferior:
T(L_{\rm h}) = T(0) + \frac{q'''\,L_{\rm h}^2}{2k_{\rm h}}.
Explicação curta: o termo adicional é a elevação de temperatura devido à geração interna, com distribuição parabólica; a isolação na base força a máxima temperatura nessa base.

Passo 9

Cálculo numérico da temperatura inferior do aquecedor:
Substituindo valores já encontrados:
q''' \approx 35732{,}01\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3,\quad L_{\rm h}=0{,}05\\ \mathrm{m},\quad k_{\rm h}=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}.
Calcule o incremento de temperatura:
\Delta T = \frac{q'''\,L_{\rm h}^2}{2k_{\rm h}} = \frac{35732{,}01\cdot (0{,}05)^2}{2\cdot 15}.
Passo a passo:
(0{,}05)^2 = 0{,}0025,
35732{,}01\cdot 0{,}0025 = 89{,}3300\\ (\text{aprox.}),
2\cdot 15 = 30,
\Delta T \approx \frac{89{,}3300}{30} \approx 2{,}9777^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura da face inferior:
T_{\rm inf\_aquecedor}=T_{\rm int}+\Delta T \approx 150 + 2{,}9777 \approx 152{,}9777^\circ\mathrm{C}.
Arredondando:
T_{\rm inferior\_aquecedor}\approx 152{,}98^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Resumo numérico (valores finais e unidades):
  • Temperatura da superfície superior da cerâmica (em contato com ar): T_{\rm s}\approx 149{,}11^\circ\mathrm{C}.
  • Potência total gerada na placa aquecedora: \dot{Q}\approx 7146{,}40\\ \mathrm{W}.
  • Taxa volumétrica de geração na placa aquecedora (útil/derivada): q'''\approx 3{,}5732\times 10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
  • Temperatura da face inferior da placa aquecedora (superfície isolada): T_{\rm inferior\_aquecedor}\approx 152{,}98^\circ\mathrm{C}.
Força extra de amigo: ficou muita coisa, mas o método é sempre o mesmo — equações locais (Fourier e Newton) + continuidade de fluxo + condições de contorno. Você consegue repetir o raciocínio para outros valores de h, k e espessuras sem grandes dificuldades.

Resposta

T_{\rm s}\approx 149{,}11^\circ\mathrm{C}
\dot{Q}\approx 7146{,}40\\ \mathrm{W}
T_{\rm inferior\_aquecedor}\approx 152{,}98^\circ\mathrm{C}

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