Q1: Uma placa cerâmica (A) precisa passar por um procedimento para tratamento térmico, para isso a temperatura da face cerâmica, em contato com a placa aquecedora, deve ser igual a
. Para manter essa temperatura, a placa cerâmica é aquecida por contato com a placa aquecedora (B), esse dispositivo é atravessado por uma corrente de 3 A, que gera uma taxa de calor uniforme unidade de volume. A face superior da camada cerâmica está em contato com o ar a uma temperatura de
. Já a face interior da placa aquecedora está perfeitamente isolada. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção do ar é igual a
e que a resistência de contato entre as duas camadas é desprezivel calcule:
- a temperatura da camada cerâmica em contato com o ar;
- a quantidade de calor gerada na placa aquecedora;
- a temperatura da camada inferior da placa aquecedora.
Considere os seguintes dados: A área total do conjunto (D) igual a 4 m ?; Espessura total do conjunto (L) igual a 10 cm , sendo a espessura da placa cerâmica corresponde a 50% desse total; condutividade térmica da placa cerâmica igual a
e da placa aquecedora igual a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
- Área total do conjunto:
. - Espessura total:
. - A espessura da placa cerâmica corresponde a
do total, portanto: - Espessura da cerâmica:
. - Espessura da placa aquecedora:
.
- Espessura da cerâmica:
- Temperatura da face cerâmica em contato com a placa aquecedora (interface cerâmica–aquecedor):
. - Temperatura do ar:
. - Coeficiente de convecção do ar:
. - Condutividade térmica da cerâmica:
. - Condutividade térmica da placa aquecedora:
. - A face interior da placa aquecedora (a face inferior externa) está perfeitamente isolada (fluxo de calor nulo nessa face).
- A placa aquecedora é atravessada por uma corrente de
que gera calor de forma uniforme por volume (o enunciado pede a quantidade de calor gerada — interpretarei isso como potência total gerada e, quando útil, como taxa volumétrica de geração).
O enunciado pede:
- A temperatura da face superior da camada cerâmica (a superfície que está em contato com o ar).
- A quantidade de calor gerada na placa aquecedora (potência total gerada).
- A temperatura da face inferior da placa aquecedora (a superfície interna isolada).
Observação: a resistência de contato entre as duas camadas é desprezível, então as temperaturas das duas superfícies em contato são iguais (interface em
).
Passo 2
Estratégia física (sem cálculos ainda), explicada de forma simples:
- No regime estacionário e em uma aproximação unidimensional (válida porque as áreas são grandes em relação às espessuras), o calor gerado na placa aquecedora só pode subir para a cerâmica e, daí, ser transferido por convecção para o ar. Como a face inferior do aquecedor é isolada, todo o calor gerado por unidade de área no aquecedor sai pela sua face superior e atravessa a cerâmica até o ar.
- Vamos aplicar:
- Lei de Fourier para condução unidimensional na cerâmica (fluxo condutivo constante através da cerâmica).
- Lei de Newton do resfriamento (convecção) na superfície exposta ao ar.
- Continuidade de fluxo na interface: fluxo condutivo através da cerâmica = fluxo convectivo para o ar.
- Com isso determinamos a temperatura da superfície externa da cerâmica. Em seguida obtemos o fluxo de calor por unidade de área
, multiplicamos por para obter a potência total gerada . Finalmente usamos o modelo analítico para a placa aquecedora com geração volumétrica uniforme e fronteira inferior isolada para obter a temperatura da face inferior.
Antes de aplicar as fórmulas, definimos as variáveis:
-
: temperatura da superfície superior da cerâmica (em contato com o ar) — é o que pedem em (1). -
: fluxo de calor por unidade de área que sai para o ar (W/m²). -
: potência total gerada na placa aquecedora (W). -
: taxa de geração volumétrica na placa aquecedora (W/m³).
Passo 3
Equações fundamentais (aulas rápidas e explicadas):
- Lei de Fourier (condução unidimensional, constante k):
Aqui, para uma lâmina com temperatura conhecida nas faces e condutividade constante, o fluxo por unidade de área pode ser escrito em forma integral simples como
mas atenção ao sinal — vamos usar magnitudes e a convenção de que o calor vai de temperaturas maiores para menores.
Para a cerâmica: o fluxo que atravessa a cerâmica do lado da interface (temperatura
) até a superfície superior
é
Explicação:
é condutividade;
é a diferença de temperatura ao longo da espessura
; o resultado tem unidades W/m².
- Lei de Newton para convecção na superfície exposta:
Explicação: a taxa de transferência por área depende do coeficiente
e da diferença de temperatura entre superfície e fluido.
- Condição de continuidade do fluxo na interface (sem geração na cerâmica): os dois fluxos são iguais, logo
Dessa equação basta isolar
.
Passo 4
Resolver a equação para
.
Partindo de
organizo para obter
:
portanto
Aqui cada termo significa:
-
é a condutância térmica por unidade de área da cerâmica (W/m²K). -
é a condutância convectiva por unidade de área (W/m²K).
Passo 5
Cálculo numérico de
(fazendo contas passo a passo):
Primeiro calcule
:
Agora aplique a fórmula:
Calcule numeradores:
Denominador:
Logo
Arredondando convenientemente:
Comentário curto: a queda de temperatura na cerâmica é pequena porque a cerâmica tem alta condutividade e espessura pequena; portanto a superfície fica muito próxima de
.
Passo 6
Calcular o fluxo de calor por unidade de área
.
Usando convecção:
Verificação usando condução na cerâmica:
confirmação consistente.
Passo 7
Potência total gerada na placa aquecedora (
):
Toda a potência gerada no aquecedor sai para o ar (regime estacionário e face inferior isolada), então
Substituindo números:
Arredondando:
Também é útil obter a taxa volumétrica de geração
(W/m³) na placa aquecedora, já que o enunciado fala em geração uniforme por volume. Pela conservação de energia, com a face inferior isolada, o fluxo por unidade de área no topo do aquecedor é igual à geração volumétrica vezes a espessura:
Calculando:
Passo 8
Temperatura da face inferior da placa aquecedora (a face isolada), usando o perfil de temperatura com geração volumétrica uniforme.
Modelo e dedução rápida (passo-a-passo):
- Considerar o eixo
positivo para baixo ao longo da placa aquecedora, com na face superior (interface, onde ) e na face inferior isolada. - A equação diferencial de equilíbrio para condução unidimensional com geração volumétrica uniforme
é
- Integrando duas vezes e aplicando condição de fluxo nulo na face inferior (
) e valor de temperatura conhecido em , obtém-se a temperatura na face inferior:
Explicação curta: o termo adicional é a elevação de temperatura devido à geração interna, com distribuição parabólica; a isolação na base força a máxima temperatura nessa base.
Passo 9
Cálculo numérico da temperatura inferior do aquecedor:
Substituindo valores já encontrados:
Calcule o incremento de temperatura:
Passo a passo:
Portanto a temperatura da face inferior:
Arredondando:
Passo 10
Resumo numérico (valores finais e unidades):
- Temperatura da superfície superior da cerâmica (em contato com ar):
. - Potência total gerada na placa aquecedora:
. - Taxa volumétrica de geração na placa aquecedora (útil/derivada):
. - Temperatura da face inferior da placa aquecedora (superfície isolada):
.
Força extra de amigo: ficou muita coisa, mas o método é sempre o mesmo — equações locais (Fourier e Newton) + continuidade de fluxo + condições de contorno. Você consegue repetir o raciocínio para outros valores de
,
e espessuras sem grandes dificuldades.