Um modelo reduzido de uma bomba centrífuga é testado em laboratório com um fluido de densidade
. O modelo, de diâmetro de rotor
, fornece uma vazão
e altura manométrica
, quando gira a
rpm. Deseja-se projetar o protótipo para operar com o mesmo fluido, mantendo a semelhança completa. Determine a rotação
necessária para o protótipo com diâmetro
. Calcule a vazão e a altura manométrica esperadas no protótipo, notando que
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados do modelo (peguei todos estes números do enunciado):
- densidade do fluido:
. - diâmetro do rotor do modelo:
. - vazão do modelo:
. - altura manométrica do modelo:
. - rotação do modelo:
.
- densidade do fluido:
-
Dados do protótipo:
- diâmetro do rotor do protótipo:
. - será pedido
necessário para “manter a semelhança completa”. - depois pedem para calcular
e esperados quando o protótipo gira a (nota no enunciado).
- diâmetro do rotor do protótipo:
-
Perguntas que o enunciado faz:
- Determinar a rotação
necessária para o protótipo com , mantendo semelhança completa. - Calcular a vazão
e a altura manométrica esperadas no protótipo sabendo que .
- Determinar a rotação
Passo 2
Conceitos e leis de semelhança (a “aula” curta e prática).
-
Quando duas máquinas centrífugas são geometricamente similares e trabalham com o mesmo fluido, a semelhança completa implica que certas grandezas adimensionais ficam iguais entre modelo e protótipo. Duas grandezas adimensionais úteis são:
- coeficiente de vazão (ou coeficiente de escala de vazão)
onde é vazão, rotação (em rotações por unidade de tempo) e diâmetro característico.
Explicando:mede a vazão relativa à capacidade geométrica e à rotação; igualar entre modelo e protótipo assegura que o escoamento relativo seja equivalente. - coeficiente de altura (ou coeficiente de energia)
onde é a altura manométrica. Explicando: mede a altura fornecida em relação à velocidade de referência ; igualar significa que a energia trocada por unidade de massa é semelhante.
- coeficiente de vazão (ou coeficiente de escala de vazão)
-
A partir dessas igualdades (mesma
e mesma ) derivam-se as chamadas leis de afinidade ou leis de escala: - relação de vazão (lei 1):
Explicando cada termo: ajusta pela velocidade angular; vem da escala volumétrica (volume/tempo cresce com ). - relação de altura (lei 2):
Explicando: escala com o quadrado da velocidade característica , daí os termos ao quadrado.
- relação de vazão (lei 1):
-
Observação importante (metodológica): as igualdades adimensionais garantem como
e dependem de e , mas NÃO determinam unicamente — sem informação extra, pode ser escolhido e então calcula-se e . Ou seja, sem uma condição adicional (por exemplo, querer manter a mesma altura absoluta, ou a mesma velocidade periférica, ou um ponto específico da curva de desempenho), não é único. Por isso é preciso explicitar um critério prático para obter um valor numérico de .
Passo 3
Decisão sobre qual critério adotar para encontrar
e justificativa.
-
O enunciado pede “manter a semelhança completa” e pede para “determinar a rotação
necessária”. Como expliquei no passo anterior, sem uma condição extra não há um único . Uma escolha prática e comum (e simples de aplicar em provas) é igualar a velocidade periférica (velocidade da ponta do rotor) entre modelo e protótipo. Justificativa curta e intuitiva: - A velocidade periférica típica do rotor é
(proporcional a ). Muitos fenómenos dinâmicos que determinam a curva da bomba dependem dessa velocidade característica; manter constante entre modelo e protótipo é uma forma prática de garantir que as condições de escoamento relativas sejam correspondentes. - Essa escolha também tem uma consequência simples nas leis de afinidade: igualar
dá uma expressão direta para .
- A velocidade periférica típica do rotor é
-
Aplicando esse critério (manter velocidade periférica constante), podemos escrever:
Passo 4
Cálculo de
necessário (usando o critério adotado).
-
Substituindo os números:
-
Interpretação rápida: para manter a velocidade periférica igual à do modelo, o protótipo (com diâmetro 3 vezes maior) deve girar 3 vezes mais devagar, ou seja
.
Passo 5
Agora calculo da vazão
e da altura
quando o protótipo gira a
(segundo pedido do enunciado).
-
Vou usar as leis de afinidade do passo 2:
-
Primeiro as razões numéricas:
-
Calcular
: Simplificando:logo -
Calcular
: Podemos reorganizar:Assim -
Observação prática: esse valor de
é muito grande; é consequência direta da combinação de diâmetro maior e rotação muito elevada ( ). Faz sentido fisicamente (a cabeça cresce com o quadrado de ), mas na prática haveria limites mecânicos e de cavitação a considerar.