Um modelo reduzido de uma bomba centrífuga é testado em laboratório com um fluido de densidade \rho_{\mathrm{m}}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O modelo, de diâmetro de rotor \mathrm{D}_{\mathrm{m}}=0,2 \mathrm{~m}, fornece uma vazão \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}=0,04 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e altura manométrica \mathrm{H}_{\mathrm{m}}=12 \mathrm{~m}, quando gira a \mathrm{n}_{\mathrm{m}}=1800 rpm. Deseja-se projetar o protótipo para operar com o mesmo fluido, mantendo a semelhança completa. Determine a rotação \mathrm{n}_{\mathrm{p}} necessária para o protótipo com diâmetro \mathrm{D}_{\mathrm{p}}=0,6 \mathrm{~m}. Calcule a vazão e a altura manométrica esperadas no protótipo, notando que n_{p}=4000 \mathrm{rpm}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados do modelo (peguei todos estes números do enunciado):
    • densidade do fluido: \rho_{\mathrm{m}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • diâmetro do rotor do modelo: \\ D_{\mathrm{m}}=0,2\\ \mathrm{m}.
    • vazão do modelo: \\ Q_{\mathrm{m}}=0,04\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • altura manométrica do modelo: \\ H_{\mathrm{m}}=12\\ \mathrm{m}.
    • rotação do modelo: \\ n_{\mathrm{m}}=1800\\ \mathrm{rpm}.
  • Dados do protótipo:
    • diâmetro do rotor do protótipo: \\ D_{\mathrm{p}}=0,6\\ \mathrm{m}.
    • será pedido n_{\mathrm{p}} necessário para “manter a semelhança completa”.
    • depois pedem para calcular Q_{\mathrm{p}} e H_{\mathrm{p}} esperados quando o protótipo gira a \\ n_{\mathrm{p}}=4000\\ \mathrm{rpm} (nota no enunciado).
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Determinar a rotação \\ n_{\mathrm{p}} necessária para o protótipo com \\ D_{\mathrm{p}}=0,6\\ \mathrm{m}, mantendo semelhança completa.
    2. Calcular a vazão \\ Q_{\mathrm{p}} e a altura manométrica \\ H_{\mathrm{p}} esperadas no protótipo sabendo que \\ n_{\mathrm{p}}=4000\\ \mathrm{rpm}.

Passo 2

Conceitos e leis de semelhança (a “aula” curta e prática).
  • Quando duas máquinas centrífugas são geometricamente similares e trabalham com o mesmo fluido, a semelhança completa implica que certas grandezas adimensionais ficam iguais entre modelo e protótipo. Duas grandezas adimensionais úteis são:
    • coeficiente de vazão (ou coeficiente de escala de vazão) \varphi=\frac{Q}{n\,D^{3}},onde Q é vazão, n rotação (em rotações por unidade de tempo) e D diâmetro característico.
      Explicando: \varphi mede a vazão relativa à capacidade geométrica e à rotação; igualar \varphi entre modelo e protótipo assegura que o escoamento relativo seja equivalente.
    • coeficiente de altura (ou coeficiente de energia) \psi=\frac{H}{n^{2}D^{2}},onde H é a altura manométrica. Explicando: \psi mede a altura fornecida em relação à velocidade de referência nD; igualar \psi significa que a energia trocada por unidade de massa é semelhante.
  • A partir dessas igualdades (mesma \varphi e mesma \psi) derivam-se as chamadas leis de afinidade ou leis de escala:
    • relação de vazão (lei 1): Q_{\mathrm{p}}=Q_{\mathrm{m}}\cdot\frac{n_{\mathrm{p}}}{n_{\mathrm{m}}}\cdot\left(\frac{D_{\mathrm{p}}}{D_{\mathrm{m}}}\right)^{3}.Explicando cada termo: \dfrac{n_{\mathrm{p}}}{n_{\mathrm{m}}} ajusta pela velocidade angular; \left(\dfrac{D_{\mathrm{p}}}{D_{\mathrm{m}}}\right)^{3} vem da escala volumétrica (volume/tempo cresce com D^{3}).
    • relação de altura (lei 2): H_{\mathrm{p}}=H_{\mathrm{m}}\cdot\left(\frac{n_{\mathrm{p}}}{n_{\mathrm{m}}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{D_{\mathrm{p}}}{D_{\mathrm{m}}}\right)^{2}.Explicando: H escala com o quadrado da velocidade característica nD, daí os termos ao quadrado.
  • Observação importante (metodológica): as igualdades adimensionais garantem como Q e H dependem de n e D, mas NÃO determinam unicamente n_{\mathrm{p}} — sem informação extra, n_{\mathrm{p}} pode ser escolhido e então calcula-se Q_{\mathrm{p}} e H_{\mathrm{p}}. Ou seja, sem uma condição adicional (por exemplo, querer manter a mesma altura absoluta, ou a mesma velocidade periférica, ou um ponto específico da curva de desempenho), n_{\mathrm{p}} não é único. Por isso é preciso explicitar um critério prático para obter um valor numérico de n_{\mathrm{p}}.

Passo 3

Decisão sobre qual critério adotar para encontrar n_{\mathrm{p}} e justificativa.
  • O enunciado pede “manter a semelhança completa” e pede para “determinar a rotação \\ n_{\mathrm{p}} necessária”. Como expliquei no passo anterior, sem uma condição extra não há um único n_{\mathrm{p}}. Uma escolha prática e comum (e simples de aplicar em provas) é igualar a velocidade periférica (velocidade da ponta do rotor) entre modelo e protótipo. Justificativa curta e intuitiva:
    • A velocidade periférica típica do rotor é u\sim \pi D n (proporcional a D n). Muitos fenómenos dinâmicos que determinam a curva da bomba dependem dessa velocidade característica; manter \,D n constante entre modelo e protótipo é uma forma prática de garantir que as condições de escoamento relativas sejam correspondentes.
    • Essa escolha também tem uma consequência simples nas leis de afinidade: igualar u dá uma expressão direta para n_{\mathrm{p}}.
  • Aplicando esse critério (manter velocidade periférica constante), podemos escrever:
    n_{\mathrm{p}}\,D_{\mathrm{p}}=n_{\mathrm{m}}\,D_{\mathrm{m}} \quad\Rightarrow\quad n_{\mathrm{p}}=n_{\mathrm{m}}\cdot\frac{D_{\mathrm{m}}}{D_{\mathrm{p}}}.

Passo 4

Cálculo de n_{\mathrm{p}} necessário (usando o critério adotado).
  • Substituindo os números:
    n_{\mathrm{p}}=1800\\ \mathrm{rpm}\cdot\frac{0,2\\ \mathrm{m}}{0,6\\ \mathrm{m}} =1800\cdot\frac{1}{3}\\ \mathrm{rpm} =600\\ \mathrm{rpm}.
  • Interpretação rápida: para manter a velocidade periférica igual à do modelo, o protótipo (com diâmetro 3 vezes maior) deve girar 3 vezes mais devagar, ou seja \,600\\ \mathrm{rpm}.

Passo 5

Agora calculo da vazão \\ Q_{\mathrm{p}} e da altura \\ H_{\mathrm{p}} quando o protótipo gira a \\ n_{\mathrm{p}}=4000\\ \mathrm{rpm} (segundo pedido do enunciado).
  • Vou usar as leis de afinidade do passo 2:
    Q_{\mathrm{p}}=Q_{\mathrm{m}}\cdot\frac{n_{\mathrm{p}}}{n_{\mathrm{m}}}\cdot\left(\frac{D_{\mathrm{p}}}{D_{\mathrm{m}}}\right)^{3}, \qquad H_{\mathrm{p}}=H_{\mathrm{m}}\cdot\left(\frac{n_{\mathrm{p}}}{n_{\mathrm{m}}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{D_{\mathrm{p}}}{D_{\mathrm{m}}}\right)^{2}.
  • Primeiro as razões numéricas:
    \frac{n_{\mathrm{p}}}{n_{\mathrm{m}}}=\frac{4000}{1800}=\frac{20}{9}, \qquad \frac{D_{\mathrm{p}}}{D_{\mathrm{m}}}=\frac{0,6}{0,2}=3.
  • Calcular \\ Q_{\mathrm{p}}:
    Q_{\mathrm{p}}=0,04\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\cdot\frac{20}{9}\cdot 3^{3} =0,04\cdot\frac{20}{9}\cdot27.
    Simplificando:
    \frac{20}{9}\cdot27=20\cdot3=60,
    logo
    Q_{\mathrm{p}}=0,04\cdot60=2,4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Calcular \\ H_{\mathrm{p}}:
    H_{\mathrm{p}}=12\\ \mathrm{m}\cdot\left(\frac{20}{9}\right)^{2}\cdot 3^{2}.
    Podemos reorganizar:
    \left(\frac{20}{9}\right)^{2}\cdot 3^{2}=\left(\frac{20}{9}\cdot 3\right)^{2}=\left(\frac{60}{9}\right)^{2}=\left(\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}.
    Assim
    H_{\mathrm{p}}=12\cdot\frac{400}{9}=\frac{4800}{9}\\ \mathrm{m}\approx 533,33\\ \mathrm{m}.
  • Observação prática: esse valor de H_{\mathrm{p}} é muito grande; é consequência direta da combinação de diâmetro maior e rotação muito elevada ( 4000\\ \mathrm{rpm}). Faz sentido fisicamente (a cabeça cresce com o quadrado de nD), mas na prática haveria limites mecânicos e de cavitação a considerar.

Resposta

n_{\mathrm{p}} necessário (mantendo velocidade periférica igual): 600\\ \mathrm{rpm}
Q_{\mathrm{p}} para n_{\mathrm{p}}=4000\\ \mathrm{rpm}: 2,4\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}
H_{\mathrm{p}} para n_{\mathrm{p}}=4000\\ \mathrm{rpm}: 533,33\\ \mathrm{m}

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