Consideremos um tubo comprido, sólido, com um isolamento no raio externo \mathrm{r}_{0}, e resfriado no raio interno \mathrm{r}_{\mathrm{i}}, com uma geração uniforme de calor \mathrm{q}\left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}\right) na parede.
  1. Determine a solução geral da distribuição de temperatura no tubo.
  2. Numa certa aplicação, há um limite na temperatura máxima admissível na superfície isolada ( \mathrm{r}=\mathrm{r}_{0} ). Identificar esta temperatura como \mathrm{T}_{0} e determinar as condições de contorno apropriadas para determinar as constantes arbitrárias que aparecem na solução geral.
  3. Determinar a taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tudo.
  4. Sendo Disponível um refrigerante na temperatura \mathrm{T}_{\infty}, deduzir uma expressão para o coeficiente de convecção que teria que existir na superfície interna a fim de ser possível a operação na temperatura \mathrm{T}_{0} com a taxa de geração q.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumão prático):
  • Geometria: tubo longo e maciço com raio interno \,r_i e raio externo \,r_0.
  • Geração volumétrica uniforme de calor: \,q (unidade \mathrm{W/m^3}).
  • Superfície externa \,r=r_0 está isolada (logo, sem trocas de calor através dela) e existe um limite máximo admissível de temperatura nessa superfície que vamos chamar de \,T_0.
  • Superfície interna \,r=r_i é resfriada por um fluido à temperatura \,T_\infty (convecção), com coeficiente convectivo \,h (parte 4 pede deduzir h necessário).
    O que se pede:
  1. Determinar a solução geral (distribuição de temperatura) no tubo.
  2. Identificar \,T_0 e escrever as condições de contorno apropriadas para determinar as constantes arbitrárias da solução geral.
  3. Determinar a taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tubo.
  4. Supondo disponível o refrigerante à temperatura \,T_\infty, deduzir uma expressão para o coeficiente de convecção \,h na superfície interna necessária para operar com a superfície externa a \,T_0 quando há geração \,q.

Passo 2

Equação diferencial governante (explicação passo a passo).
  • Estamos em regime estacionário e assumimos que não há variação axial nem angular da temperatura: T=T(r) apenas.
  • A equação de condução térmica em coordenadas cilíndricas, para estado estacionário com geração volumétrica uniforme q e condutividade térmica k, reduz-se a:
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\left(r\,k\,\frac{dT}{dr}\right)+q=0.
  • Como k é constante (assumimos material homogêneo), podemos simplificar:
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\left(r\,\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{q}{k}.
Esta equação diz, em palavras, que a divergência do fluxo radial é equilibrada pela geração volumétrica local.

Passo 3

Integração da equação diferencial para obter a solução geral.
  • Multiplicando por r e integrando uma vez:
\frac{d}{dr}\!\left(r\,\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{q}{k}\,r \quad\Longrightarrow\quad r\,\frac{dT}{dr}=-\frac{q}{2k}\,r^{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
  • Dividindo por r e integrando novamente:
\frac{dT}{dr}=-\frac{q}{2k}\,r+\frac{C_{1}}{r} \quad\Longrightarrow\quad T(r)=-\frac{q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.
  • Conclusão (solução geral):
\boxed{\,T(r)=-\dfrac{q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2}\,}
Explicação dos termos:
  • O termo -\dfrac{q}{4k}r^{2} vem da geração volumétrica (curvatura quadrática),
  • C_{1}\ln r é o termo associado ao fluxo radial (decresce/crece com \ln r),
  • C_{2} é um nível de referência de temperatura.

Passo 4

Condições de contorno apropriadas (comentário didático).
  • Condição física no exterior ( r=r_0): a superfície é isolada, portanto o fluxo térmico através dela é nulo. Isto implica:
\boxed{ \; \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_0}=0 \; } \quad\text{(condição de isolamento).}çã
  • Condição na superfície interna ( r=r_i): há convecção para o fluido à temperatura \,T_\infty, portanto a condição de contorno é do tipo de Newton (condição de terceiro tipo):
\boxed{ \; -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_i}=h\bigl(T(r_i)-T_\infty\bigr)\; } \quad\text{(equilíbrio fluxo cond./fluxo conv.).}í
  • Observação sobre \,T_0: o enunciado diz que existe um limite máximo admissível na superfície isolada e pede que o identifiquemos como \,T_0. Isso significa que, para projeto, exige-se T(r_0)\le T_0. Se se deseja operar exatamente no limite admissível então impõe-se adicionalmente
\boxed{ \; T(r_0)=T_0 \; },
o que é uma condição de projeto (restrição que podemos usar para escolher h ou outro parâmetro). Em termos de determinação das constantes C_1,C_2 há duas maneiras práticas:
  • (a) usar as condições físicas: isolamento ( dT/dr(r_0)=0) e convecção ( -k\,dT/dr(r_i)=h(T(r_i)-T_\infty)) — estas duas determinam C_1,C_2 em função de h e T_\infty;
  • (b) se for fornecido explicitamente T(r_0)=T_0, usar essa condição junto com a condição convectiva em r_i para determinar C_1,C_2.
    No que segue vou usar a formulação física (isolamento em r_0) para simplificar as integrações e, quando for preciso impor a temperatura limite T_0 (parte 4), usarei T(r_0)=T_0 como condição de projeto para relacionar h com T_0.

Passo 5

Determinação das constantes usando a condição de isolamento em r_0.
  • Da expressão geral,
\frac{dT}{dr}=-\frac{q}{2k}r+\frac{C_1}{r}.
Impondo isolamento em r_0: \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r_0}=0, obtemos
0=-\frac{q}{2k}r_0+\frac{C_1}{r_0} \quad\Longrightarrow\quad C_1=\frac{q}{2k}\,r_0^{2}.
Portanto C_1 fica explícito e depende apenas de q, k e r_0.

Passo 6

Expressão de T(r) com C_1 conhecido; valor de T(r_0).
  • Substituindo C_1 na solução geral:
T(r)=-\frac{q}{4k}r^{2}+\frac{q}{2k}r_0^{2}\ln r + C_{2}.
  • O valor de T na superfície externa (r=r_0) (useful para a parte de projeto) é
T(r_0)=-\frac{q}{4k}r_0^{2}+\frac{q}{2k}r_0^{2}\ln r_0 + C_{2}.
Se exigirmos que T(r_0)=T_0 (operação no limite admissível), isolamos C_2:
C_{2}=T_{0}+\frac{q}{4k}r_0^{2}-\frac{q}{2k}r_0^{2}\ln r_0.

Passo 7

Temperatura na superfície interna T(r_i) em função de T_0 (útil para a parte 4).
  • Substituindo C_1 e C_2 na expressão de T(r) e avaliando em r=r_i:
\begin{aligned} T(r_i)&=-\frac{q}{4k}r_i^{2}+\frac{q}{2k}r_0^{2}\ln r_i + \Bigl(T_{0}+\frac{q}{4k}r_0^{2}-\frac{q}{2k}r_0^{2}\ln r_0\Bigr)\\[4pt] &=T_{0}+\frac{q}{4k}\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr) +\frac{q r_0^{2}}{2k}\ln\!\left(\frac{r_i}{r_0}\right). \end{aligned}
Esta expressão tem interpretação física clara: T(r_i) resulta da temperatura externa T_0 mais efeitos da geração interna distribuída.]

Passo 8

Taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tubo (resposta direta).
  • A potência gerada por unidade de comprimento Q' é simplesmente a geração volumétrica multiplicada pela área da seção da parede (por unidade de comprimento a área é a área anular):
\boxed{ \; Q' = q\cdot \text{área\_transv.} = q\,\pi\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr)\; }.á
  • Alternativamente, como toda a geração deve ser removida pela convecção interna (superfície externa isolada), também vale:
Q'=2\pi r_i\,h\bigl(T(r_i)-T_\infty\bigr),
o que fornece a relação entre h e o gradiente de temperatura na superfície interna.

Passo 9

Dedução da expressão para o coeficiente de convecção h necessário para operar com T(r_0)=T_0.
  • Igualando as duas expressões para Q' obtemos:
q\,\pi\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr)=2\pi r_i\,h\bigl(T(r_i)-T_\infty\bigr).
  • Isolando h:
h=\frac{q\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr)}{2r_i\bigl(T(r_i)-T_\infty\bigr)}.
  • Substituindo T(r_i) (obtida no Passo 7):
T(r_i)-T_\infty = \bigl(T_{0}-T_\infty\bigr)+\frac{q}{4k}\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr) +\frac{q r_0^{2}}{2k}\ln\!\left(\frac{r_i}{r_0}\right).
  • Portanto a expressão final para h (em termos de q,k,r_0,r_i,T_0,T_\infty) é
\boxed{ \; h=\dfrac{q\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr)}{2r_i\Bigl[\,(T_{0}-T_\infty) +\dfrac{q}{4k}\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr) +\dfrac{q r_0^{2}}{2k}\ln\!\bigl(\dfrac{r_i}{r_0}\bigr)\Bigr]}\; }.
  • Observação prática: o denominador representa o “salto térmico” efetivo entre a superfície interna e o refrigerante quando a superfície externa opera a T_0. Se o denominador for pequeno (ou seja, se T_0 estiver muito próximo de T_\infty e/ou a geração q for grande), o h requerido será muito grande (difícil de alcançar).

Resposta

1.\;T(r)=-\dfrac{q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2}.
2.\; Condições de contorno apropriadas:
  • Superfície externa isolada: \displaystyle \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_0}=0.
  • Superfície interna com convecção: \displaystyle -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_i}=h\bigl(T(r_i)-T_\infty\bigr).
  • (Condição de projeto se operar no limite admissível) \displaystyle T(r_0)=T_0.
3.\;Q' = q\,\pi\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr).
4.\;h=\dfrac{q\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr)}{2r_i\Bigl[\,(T_{0}-T_\infty) +\dfrac{q}{4k}\bigl(r_0^{2}-r_i^{2}\bigr) +\dfrac{q r_0^{2}}{2k}\ln\!\bigl(\dfrac{r_i}{r_0}\bigr)\Bigr]}.

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