Consideremos um tubo comprido, sólido, com um isolamento no raio externo \mathrm{r}_{0}, e resfriado no raio interno \mathrm{r}_{\mathrm{i}}, com uma geração uniforme de calor \mathrm{q}\left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}\right) na parede.
Determine a solução geral da distribuição de temperatura no tubo.
Numa certa aplicação, há um limite na temperatura máxima admissível na superfície isolada ( \mathrm{r}=\mathrm{r}_{0} ). Identificar esta temperatura como \mathrm{T}_{0} e determinar as condições de contorno apropriadas para determinar as constantes arbitrárias que aparecem na solução geral.
Determinar a taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tudo.
Sendo Disponível um refrigerante na temperatura \mathrm{T}_{\infty}, deduzir uma expressão para o coeficiente de convecção que teria que existir na superfície interna a fim de ser possível a operação na temperatura \mathrm{T}_{0} com a taxa de geração q.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumão prático):
Geometria: tubo longo e maciço com raio interno \,r_i e raio externo \,r_0.
Geração volumétrica uniforme de calor: \,q (unidade \mathrm{W/m^3}).
Superfície externa \,r=r_0 está isolada (logo, sem trocas de calor através dela) e existe um limite máximo admissível de temperatura nessa superfície que vamos chamar de \,T_0.
Superfície interna \,r=r_i é resfriada por um fluido à temperatura \,T_\infty (convecção), com coeficiente convectivo \,h (parte 4 pede deduzir h necessário).
O que se pede:
Determinar a solução geral (distribuição de temperatura) no tubo.
Identificar \,T_0 e escrever as condições de contorno apropriadas para determinar as constantes arbitrárias da solução geral.
Determinar a taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tubo.
Supondo disponível o refrigerante à temperatura \,T_\infty, deduzir uma expressão para o coeficiente de convecção \,h na superfície interna necessária para operar com a superfície externa a \,T_0 quando há geração \,q.
Passo 2
Equação diferencial governante (explicação passo a passo).
Estamos em regime estacionário e assumimos que não há variação axial nem angular da temperatura: T=T(r) apenas.
A equação de condução térmica em coordenadas cilíndricas, para estado estacionário com geração volumétrica uniforme q e condutividade térmica k, reduz-se a:
\frac{dT}{dr}=-\frac{q}{2k}\,r+\frac{C_{1}}{r} \quad\Longrightarrow\quad T(r)=-\frac{q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.
Conclusão (solução geral):
\boxed{\,T(r)=-\dfrac{q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2}\,}
Explicação dos termos:
O termo -\dfrac{q}{4k}r^{2} vem da geração volumétrica (curvatura quadrática),
C_{1}\ln r é o termo associado ao fluxo radial (decresce/crece com \ln r),
C_{2} é um nível de referência de temperatura.
Passo 4
Condições de contorno apropriadas (comentário didático).
Condição física no exterior (r=r_0): a superfície é isolada, portanto o fluxo térmico através dela é nulo. Isto implica:
\boxed{ \; \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_0}=0 \; } \quad\text{(condição de isolamento).}
Condição na superfície interna (r=r_i): há convecção para o fluido à temperatura \,T_\infty, portanto a condição de contorno é do tipo de Newton (condição de terceiro tipo):
Observação sobre \,T_0: o enunciado diz que existe um limite máximo admissível na superfície isolada e pede que o identifiquemos como \,T_0. Isso significa que, para projeto, exige-se T(r_0)\le T_0. Se se deseja operar exatamente no limite admissível então impõe-se adicionalmente
\boxed{ \; T(r_0)=T_0 \; },
o que é uma condição de projeto (restrição que podemos usar para escolher h ou outro parâmetro). Em termos de determinação das constantes C_1,C_2 há duas maneiras práticas:
(a) usar as condições físicas: isolamento (dT/dr(r_0)=0) e convecção (-k\,dT/dr(r_i)=h(T(r_i)-T_\infty)) — estas duas determinam C_1,C_2 em função de h e T_\infty;
(b) se for fornecido explicitamente T(r_0)=T_0, usar essa condição junto com a condição convectiva em r_i para determinar C_1,C_2.
No que segue vou usar a formulação física (isolamento em r_0) para simplificar as integrações e, quando for preciso impor a temperatura limite T_0 (parte 4), usarei T(r_0)=T_0 como condição de projeto para relacionar h com T_0.
Passo 5
Determinação das constantes usando a condição de isolamento em r_0.
Da expressão geral,
\frac{dT}{dr}=-\frac{q}{2k}r+\frac{C_1}{r}.
Impondo isolamento em r_0: \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r_0}=0, obtemos
Esta expressão tem interpretação física clara: T(r_i) resulta da temperatura externa T_0 mais efeitos da geração interna distribuída.]
Passo 8
Taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tubo (resposta direta).
A potência gerada por unidade de comprimento Q' é simplesmente a geração volumétrica multiplicada pela área da seção da parede (por unidade de comprimento a área é a área anular):
Observação prática: o denominador representa o “salto térmico” efetivo entre a superfície interna e o refrigerante quando a superfície externa opera a T_0. Se o denominador for pequeno (ou seja, se T_0 estiver muito próximo de T_\infty e/ou a geração q for grande), o h requerido será muito grande (difícil de alcançar).
Resposta
1.\;T(r)=-\dfrac{q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2}.