Se
não é zero, pelo menos um dos
! termos na fórmula para o determinante não é zero. Deduza da fórmula principal que alguma ordenação das linhas de
não deixa zeros na diagonal.
Passo 1
O enunciado usa a fórmula de Leibniz para o determinante de uma matriz
de ordem
:
Diz que
, ou seja, pelo menos um dos termos
não é zero. Precisamos deduzir que existe uma permutação das linhas de
que faz com que todos os elementos da diagonal fiquem não nulos.
Passo 2
Como
, existe alguma permutação
tal que
Então, para todo
, temos
Passo 3
Definimos a permutação
. Agora consideramos a matriz
obtida de
ao permutar as linhas de acordo com
, isto é, a linha
de
vai para a linha
de
.
Passo 4
Na nova matriz
, o elemento da posição
é justamente
Mas como
, segue que
pois faz parte do produto não nulo
.
Passo 5
Portanto, ao aplicar a permutação de linhas
, obtemos uma matriz
cuja diagonal principal é
e cada um desses elementos satisfaz
.
Resposta
Basta escolher a permutação de linhas
em que
é tal que
. Após essa mudança de linha, todos os elementos da diagonal ficam não nulos.