Se det A não é zero, pelo menos um dos n ! termos na fórmula para o determinante não é zero. Deduza da fórmula principal que alguma ordenação das linhas de A não deixa zeros na diagonal.

Passo 1

O enunciado usa a fórmula de Leibniz para o determinante de uma matriz A=(aij) de ordem n:
det A ;=;sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^n ai,sigma(i)
Diz que det Aneq0, ou seja, pelo menos um dos termos prodi=1^n ai,sigma(i) não é zero. Precisamos deduzir que existe uma permutação das linhas de A que faz com que todos os elementos da diagonal fiquem não nulos.

Passo 2

Como det Aneq0, existe alguma permutação sigmain Sn tal que
prodi=1^n ai,sigma(i)neq0
Então, para todo i=1,dots,n, temos
ai,sigma(i)neq0

Passo 3

Definimos a permutação pi=sigma^-1. Agora consideramos a matriz A' obtida de A ao permutar as linhas de acordo com pi, isto é, a linha k de A vai para a linha pi^-1(k)=sigma(k) de A'.

Passo 4

Na nova matriz A', o elemento da posição (i,i) é justamente
A'ii=Api(i),,i=Asigma^-1(i),,i
Mas como i=sigma(sigma^-1(i)), segue que
Asigma^-1(i),,i=asigma^-1(i),,sigma(sigma^-1(i))=asigma^-1(i),,sigma(sigma^-1(i))neq0
pois faz parte do produto não nulo prodj=1^n aj,sigma(j).

Passo 5

Portanto, ao aplicar a permutação de linhas pi=sigma^-1, obtemos uma matriz A' cuja diagonal principal é
A'11,,A'22,dots,A'nn,
e cada um desses elementos satisfaz A'iineq0.

Resposta

Basta escolher a permutação de linhas pi=sigma^-1 em que sigma é tal que prodi=1^n ai,sigma(i)neq0. Após essa mudança de linha, todos os elementos da diagonal ficam não nulos.

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