Detemine f_{x}, f_{y} e f_{z}.
f(x, y, z)=\operatorname{cosh} (\sqrt{z}) \operatorname{senh}^{2}\left(x^{2} y z\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais f_{x}, f_{y} e f_{z} da função
f(x,y,z)=\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}^{2}\bigl(x^{2} y z\bigr).
Informações dadas:
  • A função depende de x, y e z.
  • A parte \operatorname{cosh}(\sqrt{z}) depende apenas de z.
  • A parte \operatorname{sinh}^{2}(x^{2} y z) depende de x, y e z através do argumento x^{2} y z.
O objetivo é determinar explicitamente:
  • \,f_{x}=\dfrac{\partial f}{\partial x},
  • \,f_{y}=\dfrac{\partial f}{\partial y},
  • \,f_{z}=\dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

Lembrando as regras que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x) então h' = u'v + u v'.
  • Regra da cadeia: se h(x)=H(G(x)) então h' = H'(G(x))\cdot G'(x).
  • Derivadas das hiperbólicas: \frac{d}{dt}\operatorname{cosh}(t)=\operatorname{sinh}(t),\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{sinh}(t)=\operatorname{cosh}(t).
  • Derivada de uma potência quadrada: se H(t)=\bigl(\operatorname{sinh}(t)\bigr)^{2} então, pela cadeia, H'(t)=2\,\operatorname{sinh}(t)\cdot\operatorname{cosh}(t).
  • Derivada de \sqrt{z} em relação a z: \frac{d}{dz}\sqrt{z}=\frac{1}{2\sqrt{z}},válida para z>0. (Se aparecer z=0 tratar como limite; aqui trabalhamos formalmente.)
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Defino o argumento comum que aparece em várias derivadas:
g(x,y,z)=x^{2} y z.
Calculo suas derivadas parciais (essas derivadas são simples porque g é um monômio):
g_{x}=\frac{\partial g}{\partial x}=2x\,y\,z, \qquad g_{y}=\frac{\partial g}{\partial y}=x^{2} z, \qquad g_{z}=\frac{\partial g}{\partial z}=x^{2} y.

Passo 4

Cálculo de f_{x}.
Observação: ao derivar em relação a x, \operatorname{cosh}(\sqrt{z}) é constante (não depende de x). Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia para \operatorname{sinh}^{2}(g):
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sinh}^{2}\bigl(g(x,y,z)\bigr) =2\,\operatorname{sinh}\bigl(g\bigr)\cdot\operatorname{cosh}\bigl(g\bigr)\cdot g_{x}.
Substituindo g_{x}=2x y z e multiplicando pela constante \operatorname{cosh}(\sqrt{z}), obtemos
f_{x}=\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\cdot\bigl(2\,\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g)\cdot 2x y z\bigr).
Organizando:
f_{x}=4x y z\;\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}\bigl(g\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(g\bigr).
(Se preferir uma forma alternativa, usar a identidade 2\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g)=\operatorname{sinh}(2g) e obter f_{x}=2x y z\;\operatorname{cosh}(\sqrt{z})\,\operatorname{sinh}(2g).)

Passo 5

Cálculo de f_{y}.
Semelhante ao caso x: \operatorname{cosh}(\sqrt{z}) é constante em y. Usando g_{y}=x^{2} z,
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sinh}^{2}(g)=2\,\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g)\cdot g_{y} =2\,\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g)\cdot x^{2} z.
Multiplicando pela constante \operatorname{cosh}(\sqrt{z}),
f_{y}=2 x^{2} z\;\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}\bigl(g\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(g\bigr).
(Alternativamente, usando a identidade hiperbólica: f_{y}=x^{2} z\;\operatorname{cosh}(\sqrt{z})\,\operatorname{sinh}(2g).)

Passo 6

Cálculo de f_{z}.
Agora ambas as partes dependem de z, então aplico a regra do produto:
f_{z}=\frac{\partial}{\partial z}\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\cdot\operatorname{sinh}^{2}(g) +\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial z}\operatorname{sinh}^{2}(g).
Primeiro termo: derivada de \operatorname{cosh}(\sqrt{z}) usando cadeia:
\frac{\partial}{\partial z}\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr) =\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Logo o primeiro termo é
\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{z}}\;\operatorname{sinh}^{2}(g).
Segundo termo: derivada de \operatorname{sinh}^{2}(g) em relação a z, usando g_{z}=x^{2} y:
\frac{\partial}{\partial z}\operatorname{sinh}^{2}(g) =2\,\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g)\cdot g_{z} =2\,\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g)\cdot x^{2} y.
Multiplicando por \operatorname{cosh}(\sqrt{z}) dá:
2 x^{2} y\;\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g).
Somando os termos:
f_{z}=\frac{\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)}{2\sqrt{z}}\;\operatorname{sinh}^{2}(g) +2 x^{2} y\;\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g).
Também é possível, para a segunda parcela, usar \operatorname{sinh}(g)\operatorname{cosh}(g)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2g) e reescrever se preferir.

Resposta

f_{x}=4x y z\;\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}\bigl(x^{2}y z\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y z\bigr)
f_{y}=2 x^{2} z\;\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}\bigl(x^{2}y z\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y z\bigr)
f_{z}=\frac{\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)}{2\sqrt{z}}\;\operatorname{sinh}^{2}\bigl(x^{2}y z\bigr) +2 x^{2} y\;\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{z}\bigr)\,\operatorname{sinh}\bigl(x^{2}y z\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y z\bigr)

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