Detemine
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
Informações dadas:
- A função depende de
, e . - A parte
depende apenas de . - A parte
depende de , e através do argumento .
O objetivo é determinar explicitamente:
-
, -
, -
.
Passo 2
Lembrando as regras que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: se
então . - Derivadas das hiperbólicas:
- Derivada de uma potência quadrada: se
então, pela cadeia, - Derivada de
em relação a : válida para . (Se aparecer tratar como limite; aqui trabalhamos formalmente.)
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Defino o argumento comum que aparece em várias derivadas:
Calculo suas derivadas parciais (essas derivadas são simples porque
é um monômio):
Passo 4
Cálculo de
.
Observação: ao derivar em relação a
,
é constante (não depende de
). Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia para
:
Substituindo
e multiplicando pela constante
, obtemos
Organizando:
(Se preferir uma forma alternativa, usar a identidade
e obter
.)
Passo 5
Cálculo de
.
Semelhante ao caso
:
é constante em
. Usando
,
Multiplicando pela constante
,
(Alternativamente, usando a identidade hiperbólica:
.)
Passo 6
Cálculo de
.
Agora ambas as partes dependem de
, então aplico a regra do produto:
Primeiro termo: derivada de
usando cadeia:
Logo o primeiro termo é
Segundo termo: derivada de
em relação a
, usando
:
Multiplicando por
dá:
Somando os termos:
Também é possível, para a segunda parcela, usar
e reescrever se preferir.