Determine \partial w / \partial x, \partial w / \partial y e \partial w / \partial z.
w=\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \partial w/\partial x, \partial w/\partial y e \partial w/\partial z da função
w=\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}+z^{2}}.
Informações dadas e condições importantes:
  • A função está em três variáveis independentes x,y,z.
  • O denominador não pode ser zero, ou seja, y^{2}+z^{2}\neq0 (domínio da função).
  • Deve-se entender \partial w/\partial x como a derivada de w em relação a x mantendo y e z constantes; e análogas interpretações para \partial w/\partial y e \partial w/\partial z.

Passo 2

Regra que vamos usar (cápsula didática): para uma função dada como quociente
w=\frac{f(x,y,z)}{g(x,y,z)},
a derivada parcial em relação a uma variável u\in\{x,y,z\} é dada pela regra do quociente:
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\frac{\partial f}{\partial u}\,g - f\,\frac{\partial g}{\partial u}}{g^{2}}.
Explicando: \partial f/\partial u significa derivar f em relação a u mantendo as outras variáveis fixas; o mesmo para \partial g/\partial u. Esta fórmula é idêntica à regra do quociente em cálculo de uma variável, só que tomando derivadas parciais.

Passo 3

Identifico f e g e calculo suas derivadas parciais elementares:
f(x,y,z)=x^{2}-y^{2},\qquad g(x,y,z)=y^{2}+z^{2}.
Derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=0.
Derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial g}{\partial z}=2z.
Comentário rápido: ao derivar x^{2} em relação a x obtém-se 2x; ao derivar y^{2} em relação a x 0 porque y é tratado como constante etc.

Passo 4

Cálculo de \partial w/\partial x aplicando a fórmula do quociente com u=x:
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\frac{\partial f}{\partial x}\,g - f\,\frac{\partial g}{\partial x}}{g^{2}} =\frac{(2x)(y^{2}+z^{2}) - (x^{2}-y^{2})\cdot 0}{(y^{2}+z^{2})^{2}}.
Como \frac{\partial g}{\partial x}=0, o segundo termo some, ficando
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{2x(y^{2}+z^{2})}{(y^{2}+z^{2})^{2}}=\frac{2x}{y^{2}+z^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \partial w/\partial y usando a regra do quociente com u=y:
\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{\frac{\partial f}{\partial y}\,g - f\,\frac{\partial g}{\partial y}}{g^{2}} =\frac{(-2y)(y^{2}+z^{2}) - (x^{2}-y^{2})(2y)}{(y^{2}+z^{2})^{2}}.
Simplifico o numerador passo a passo:
(-2y)(y^{2}+z^{2}) - 2y(x^{2}-y^{2}) = -2y^{3} - 2y z^{2} - 2y x^{2} + 2y^{3}.
Os termos -2y^{3} e +2y^{3} se anulam, sobrando
\text{numerador} = -2y(x^{2}+z^{2}).
Portanto
\frac{\partial w}{\partial y}=-\frac{2y(x^{2}+z^{2})}{(y^{2}+z^{2})^{2}}.

Passo 6

Cálculo de \partial w/\partial z com u=z:
\frac{\partial w}{\partial z} =\frac{\frac{\partial f}{\partial z}\,g - f\,\frac{\partial g}{\partial z}}{g^{2}} =\frac{0\cdot (y^{2}+z^{2}) - (x^{2}-y^{2})(2z)}{(y^{2}+z^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{2z(x^{2}-y^{2})}{(y^{2}+z^{2})^{2}}.

Resposta

\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{2x}{y^{2}+z^{2}}
\dfrac{\partial w}{\partial y}=-\dfrac{2y\left(x^{2}+z^{2}\right)}{\left(y^{2}+z^{2}\right)^{2}}
\dfrac{\partial w}{\partial z}=-\dfrac{2z\left(x^{2}-y^{2}\right)}{\left(y^{2}+z^{2}\right)^{2}}

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