Determine
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
,
e
da função
Informações dadas e condições importantes:
- A função está em três variáveis independentes
. - O denominador não pode ser zero, ou seja,
(domínio da função). - Deve-se entender
como a derivada de em relação a mantendo e constantes; e análogas interpretações para e .
Passo 2
Regra que vamos usar (cápsula didática): para uma função dada como quociente
a derivada parcial em relação a uma variável
é dada pela regra do quociente:
Explicando:
significa derivar
em relação a
mantendo as outras variáveis fixas; o mesmo para
. Esta fórmula é idêntica à regra do quociente em cálculo de uma variável, só que tomando derivadas parciais.
Passo 3
Identifico
e
e calculo suas derivadas parciais elementares:
Derivadas parciais de
:
Derivadas parciais de
:
Comentário rápido: ao derivar
em relação a
obtém-se
; ao derivar
em relação a
dá
porque
é tratado como constante etc.
Passo 4
Cálculo de
aplicando a fórmula do quociente com
:
Como
, o segundo termo some, ficando
Passo 5
Cálculo de
usando a regra do quociente com
:
Simplifico o numerador passo a passo:
Os termos
e
se anulam, sobrando
Portanto
Passo 6
Cálculo de
com
:
Logo