Determine
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
,
e
da função
Informações relevantes dadas:
- A função é de três variáveis
. - A expressão é um produto de
por uma exponencial cuja função do argumento é .
Passo 2
O que significa derivada parcial: por exemplo,
Intuitivamente, ao calcular
tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
; para
tratamos
e
como constantes; e para
tratamos
e
como constantes.
Ferramentas que vamos usar:
- Regra da cadeia para exponenciais: se
depende da variável , então
onde
é a derivada de
em relação a
.
- Regra da potência:
para inteiro positivo.
Passo 3
Cálculo de
.
Trato
e
como constantes. Posso escrever
Aqui
depende de
(e de
, mas
é considerado constante ao derivar em
). Usando a regra da cadeia para
e lembrando que
é constante em relação a
, temos
Agora
(porque
é constante). Substituindo
,
Passo 4
Cálculo de
.
Trato
e
como constantes. Agora a exponencial
é constante em relação a
, e aplico a regra da potência em
:
Passo 5
Cálculo de
.
Trato
e
como constantes. Igual ao caso de
usamos a regra da cadeia: defina
. Então
Aqui
. Substituindo
,
Passo 6
Observação final curta para lembrar na prova: todos os três resultados têm o fator comum
. Poder-se-ia fatorar
e escrever as derivadas em forma vetorial como
mas isso é apenas uma forma compacta — os anteriores são os valores diretos.