Determine \partial w / \partial x, \partial w / \partial y e \partial w / \partial z.
w=y^{3} e^{2 x+3 z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y} e \dfrac{\partial w}{\partial z} da função
w = y^{3} e^{2x+3z}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é de três variáveis x,y,z.
  • A expressão é um produto de y^{3} por uma exponencial cuja função do argumento é 2x+3z.

Passo 2

O que significa derivada parcial: por exemplo,
\frac{\partial w}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h,y,z)-w(x,y,z)}{h}.
Intuitivamente, ao calcular \dfrac{\partial w}{\partial x} tratamos y e z como constantes e derivamos em relação a x; para \dfrac{\partial w}{\partial y} tratamos x e z como constantes; e para \dfrac{\partial w}{\partial z} tratamos x e y como constantes.
Ferramentas que vamos usar:
  • Regra da cadeia para exponenciais: se u depende da variável t, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=e^{u(t)}\cdot u'(t),
onde u'(t) é a derivada de u em relação a t.
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dy}y^{n}=n y^{n-1} para n inteiro positivo.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial x}.
Trato y e z como constantes. Posso escrever
w = y^{3}\,e^{u},\qquad\text{onde}\quad u=2x+3z.
Aqui u depende de x (e de z, mas z é considerado constante ao derivar em x). Usando a regra da cadeia para e^{u} e lembrando que y^{3} é constante em relação a x, temos
\frac{\partial w}{\partial x} = y^{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{u}\bigr) = y^{3}\cdot e^{u}\cdot\frac{du}{dx}.
Agora \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(2x+3z)=2 (porque z é constante). Substituindo u=2x+3z,
\frac{\partial w}{\partial x}=y^{3}\,e^{2x+3z}\cdot 2 = 2\,y^{3} e^{2x+3z}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial y}.
Trato x e z como constantes. Agora a exponencial e^{2x+3z} é constante em relação a y, e aplico a regra da potência em y^{3}:
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{d}{dy}\bigl(y^{3}\bigr)\cdot e^{2x+3z} = 3y^{2}\cdot e^{2x+3z}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial z}.
Trato x e y como constantes. Igual ao caso de x usamos a regra da cadeia: defina u=2x+3z. Então
\frac{\partial w}{\partial z} = y^{3}\cdot\frac{d}{dz}\bigl(e^{u}\bigr) = y^{3}\,e^{u}\cdot\frac{du}{dz}.
Aqui \dfrac{du}{dz}=\dfrac{d}{dz}(2x+3z)=3. Substituindo u=2x+3z,
\frac{\partial w}{\partial z}=y^{3}\,e^{2x+3z}\cdot 3 = 3\,y^{3} e^{2x+3z}.

Passo 6

Observação final curta para lembrar na prova: todos os três resultados têm o fator comum e^{2x+3z}. Poder-se-ia fatorar y^{2} e^{2x+3z} e escrever as derivadas em forma vetorial como
\bigl(\partial_x w,\partial_y w,\partial_z w\bigr) = y^{2} e^{2x+3z}\bigl(2y,\;3,\;3y\bigr),
mas isso é apenas uma forma compacta — os anteriores são os valores diretos.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=2\,y^{3} e^{2x+3z}
\frac{\partial w}{\partial y}=3\,y^{2} e^{2x+3z}
\frac{\partial w}{\partial z}=3\,y^{3} e^{2x+3z}

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