Detemine a falília de primitivas de cada função. Verifique o resultado efetuando a diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede a família de primitivas (ou antiderivadas) da função dada e que verifiquemos o resultado por diferenciação. As informações relevantes são:
Dados fornecidos explicitamente:
A tarefa é encontrar uma função
tal que
, e depois verificar diferenciando
.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a integranda em potências de
(isto facilita o uso da regra da potência):
Portanto a integral fica
Passo 3
Apresento a regra que usaremos: a regra da potência para integrais.
Para qualquer número real com
,
Para qualquer número real
onde
é a constante de integração. Explicando: essa fórmula vem do fato de que a derivada de
é
ou seja, a diferenciação recupera
. Aqui
é o expoente da potência e
é a variável independente.
Passo 4
Aplicamos a regra termo a termo. Para o primeiro termo
temos
. Então
Pela regra da potência,
Aqui mostrei cada passo: somei
ao expoente e dividi por esse novo expoente (dividir por
é multiplicar por
).
Passo 5
Agora o segundo termo
. Aqui
. Então
Usando a regra,
Expliquei: o sinal negativo sai para fora da integral e dividir por
equivale a multiplicar por
.
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos obtemos a primitiva total (mais a constante de integração
):
Passo 7
Verificação por diferenciação. Usamos a regra da potência para derivadas: para qualquer
,
Derivando
:
Simplificando os coeficientes e os expoentes:
Voltamos exatamente à integranda
, como exigido.
Passo 8
Observação sobre o domínio e a constante: como aparece
e
, estamos considerando a variável
em
para evitar problemas de raiz e divisão por zero. A família de primitivas inclui uma constante arbitrária
.