Detemine a falília de primitivas de cada função. Verifique o resultado efetuando a diferenciação.
\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a família de primitivas (ou antiderivadas) da função dada e que verifiquemos o resultado por diferenciação. As informações relevantes são:
\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx
Dados fornecidos explicitamente:
\sqrt{x}\quad\text{e}\quad \frac{1}{\sqrt{x}}.
A tarefa é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}, e depois verificar diferenciando F.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a integranda em potências de x (isto facilita o uso da regra da potência):
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Portanto a integral fica
\int\left(x^{1/2}-x^{-1/2}\right)\,dx.

Passo 3

Apresento a regra que usaremos: a regra da potência para integrais.
Para qualquer número real n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Explicando: essa fórmula vem do fato de que a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é
\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}=x^{n},
ou seja, a diferenciação recupera x^{n}. Aqui n é o expoente da potência e x é a variável independente.

Passo 4

Aplicamos a regra termo a termo. Para o primeiro termo x^{1/2} temos n=\tfrac{1}{2}. Então
n+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Pela regra da potência,
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Aqui mostrei cada passo: somei 1 ao expoente e dividi por esse novo expoente (dividir por \tfrac{3}{2} é multiplicar por \tfrac{2}{3}).

Passo 5

Agora o segundo termo -x^{-1/2}. Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Então
n+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}.
Usando a regra,
\int -x^{-1/2}\,dx=-\frac{x^{1/2}}{1/2}=-2x^{1/2}.
Expliquei: o sinal negativo sai para fora da integral e dividir por \tfrac{1}{2} equivale a multiplicar por 2.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos obtemos a primitiva total (mais a constante de integração C):
F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x^{1/2}+C.

Passo 7

Verificação por diferenciação. Usamos a regra da potência para derivadas: para qualquer n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Derivando F(x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-2x^{1/2}+C\right) =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{3/2-1}-2\cdot\frac{1}{2}x^{1/2-1}+0.
Simplificando os coeficientes e os expoentes:
\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{1/2}-x^{-1/2}.
Voltamos exatamente à integranda \sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}, como exigido.

Passo 8

Observação sobre o domínio e a constante: como aparece \sqrt{x} e \dfrac{1}{\sqrt{x}}, estamos considerando a variável x em x>0 para evitar problemas de raiz e divisão por zero. A família de primitivas inclui uma constante arbitrária C.

Resposta

\frac{2}{3}x^{3/2}-2x^{1/2}+C

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