Em cada caso, determina se o polinómio é combinação linear de
p_{1}=2+x+x^{2}, \quad p_{2}=1-x^{2}, \quad p_{3}=1+2 x .
1+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá três polinómios
p_{1}=2+x+x^{2},\qquad p_{2}=1-x^{2},\qquad p_{3}=1+2x,
e pede para determinar se o polinómio
1+x^{2}
é uma combinação linear desses três. As informações relevantes são: os três polinómios p_{1},p_{2},p_{3} e o polinómio alvo 1+x^{2}. A pergunta que temos de responder é: existem escalares (números) \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}=1+x^{2}\,?

Passo 2

O que significa buscar \alpha,\beta,\gamma? Significa escrever
\alpha(2+x+x^{2})+\beta(1-x^{2})+\gamma(1+2x)=1+x^{2}.
Aqui \alpha,\beta,\gamma são números reais (ou racionais) que vamos determinar. Regra importante: dois polinómios são iguais se e somente se os coeficientes das potências de x correspondentes são iguais. Ou seja, vamos desenvolver o lado esquerdo e comparar coeficientes de x^{0} (constante), x^{1} e x^{2}.

Passo 3

Expandimos o lado esquerdo agrupando pelos graus de x. Primeiro, escrevo cada parte:
\alpha(2+x+x^{2}) = 2\alpha + \alpha x + \alpha x^{2},
\beta(1-x^{2}) = \beta - \beta x^{2},
\gamma(1+2x) = \gamma + 2\gamma x.
Somando termo a termo, o coeficiente da constante é
2\alpha+\beta+\gamma,
o coeficiente de x é
\alpha+2\gamma,
e o coeficiente de x^{2} é
\alpha-\beta.
Esses três devem ser iguais aos correspondentes no polinómio alvo 1+x^{2}, cujo coeficiente de constante é 1, de x é 0 e de x^{2} é 1. Assim obtemos o sistema de três equações:
\begin{cases} 2\alpha+\beta+\gamma=1,\\[4pt] \alpha+2\gamma=0,\\[4pt] \alpha-\beta=1. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Primeiro, da terceira equação \alpha-\beta=1 isolamos \beta:
\beta=\alpha-1.
Da segunda equação \alpha+2\gamma=0 isolamos \gamma:
\gamma=-\dfrac{\alpha}{2}.
Agora substituímos \beta e \gamma na primeira equação 2\alpha+\beta+\gamma=1:
2\alpha+(\alpha-1)+\left(-\dfrac{\alpha}{2}\right)=1.

Passo 5

Resolvendo a equação do passo anterior passo a passo:
juntamos os termos em \alpha:
2\alpha+\alpha-\dfrac{\alpha}{2} -1 =1.
Somando os coeficientes de \alpha:
2\alpha+\alpha-\dfrac{\alpha}{2} = \left(3-\dfrac{1}{2}\right)\alpha = \dfrac{5}{2}\alpha.
Logo a igualdade fica
\dfrac{5}{2}\alpha -1 = 1.
Isolando \alpha:
\dfrac{5}{2}\alpha = 2 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \dfrac{2\cdot 2}{5} = \dfrac{4}{5}.

Passo 6

Com \alpha=\dfrac{4}{5} calculamos \beta e \gamma usando as fórmulas do passo 4:
\beta=\alpha-1=\dfrac{4}{5}-1=\dfrac{4-5}{5}=-\dfrac{1}{5},
\gamma=-\dfrac{\alpha}{2}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5}=-\dfrac{2}{5}.

Passo 7

Verificação (sempre bom conferir na prova): substituímos os valores obtidos na combinação:
\dfrac{4}{5}p_{1}-\dfrac{1}{5}p_{2}-\dfrac{2}{5}p_{3} = \dfrac{4}{5}(2+x+x^{2})-\dfrac{1}{5}(1-x^{2})-\dfrac{2}{5}(1+2x).
Calculando os coeficientes (fazer as contas rápidas confirma):
constante: \dfrac{4}{5}\cdot 2 -\dfrac{1}{5}\cdot 1 -\dfrac{2}{5}\cdot 1 = \dfrac{8-1-2}{5}=\dfrac{5}{5}=1.
coeficiente de x: \dfrac{4}{5}\cdot 1 + 0 - \dfrac{2}{5}\cdot 2 = \dfrac{4-4}{5}=0.
coeficiente de x^{2}: \dfrac{4}{5}\cdot 1 -\left(-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}=1.
Ficamos com 1+0\cdot x +1\cdot x^{2}=1+x^{2}, confirmando que a combinação está correta.

Resposta

\displaystyle 1+x^{2}=\dfrac{4}{5}p_{1}-\dfrac{1}{5}p_{2}-\dfrac{2}{5}p_{3}

Exercícios relacionados