é uma combinação linear desses três. As informações relevantes são: os três polinómios p_{1},p_{2},p_{3} e o polinómio alvo 1+x^{2}. A pergunta que temos de responder é: existem escalares (números) \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}=1+x^{2}\,?
Passo 2
O que significa buscar \alpha,\beta,\gamma? Significa escrever
Aqui \alpha,\beta,\gamma são números reais (ou racionais) que vamos determinar. Regra importante: dois polinómios são iguais se e somente se os coeficientes das potências de x correspondentes são iguais. Ou seja, vamos desenvolver o lado esquerdo e comparar coeficientes de x^{0} (constante), x^{1} e x^{2}.
Passo 3
Expandimos o lado esquerdo agrupando pelos graus de x. Primeiro, escrevo cada parte:
\alpha(2+x+x^{2}) = 2\alpha + \alpha x + \alpha x^{2},
\beta(1-x^{2}) = \beta - \beta x^{2},
\gamma(1+2x) = \gamma + 2\gamma x.
Somando termo a termo, o coeficiente da constante é
2\alpha+\beta+\gamma,
o coeficiente de x é
\alpha+2\gamma,
e o coeficiente de x^{2} é
\alpha-\beta.
Esses três devem ser iguais aos correspondentes no polinómio alvo 1+x^{2}, cujo coeficiente de constante é 1, de x é 0 e de x^{2} é 1. Assim obtemos o sistema de três equações: