Verifica se o vector \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] pertence a span \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix}
pertence ao subconjunto gerado (span) pelos vetores
\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix} \qquad\text{e}\qquad \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Informações dadas:
\mathbf{b},\\ \mathbf{v}_1,\\ \mathbf{v}_2
Não há outras informações ou figuras. A pergunta é única: determinar se \mathbf{b} pertence ao span \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.]

Passo 2

O que significa “pertencer ao span”? Vou explicar didaticamente: o span \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. Ou seja, existem escalares (números) \alpha e \beta tais que
\alpha\,\mathbf{v}_1+\beta\,\mathbf{v}_2=\mathbf{b}.
Aqui \alpha e \beta são incógnitas reais; cada um corresponde ao “quanto” multiplicamos cada vetor gerador e depois somamos componente a componente.

Passo 3

Vou escrever explicitamente a combinação linear com incógnitas. Seja \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix} +\beta\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Agora vamos igualar componente a componente para transformar isso num sistema de equações.]

Passo 4

Igualando componentes obtemos três equações (uma por linha):
\begin{cases} \alpha+\beta=3,\\[4pt] 0\cdot\alpha+\;1\cdot\beta=1,\\[4pt] \alpha+0\cdot\beta=2. \end{cases}
Vou explicar cada linha: a primeira linha vem da soma das primeiras componentes, a segunda da soma das segundas componentes, e a terceira das terceiras.]

Passo 5

Resolvendo as equações fáceis primeiro:
  • Da segunda equação temos imediatamente
\beta=1.
  • Da terceira equação temos imediatamente
\alpha=2.
Isso acontece porque as entradas zero simplificam o sistema: cada uma dessas equações isolou uma incógnita.

Passo 6

Agora verificamos se esses valores satisfazem a primeira equação:
\alpha+\beta=2+1=3,
que é exatamente o valor da primeira equação. Logo os dois valores são compatíveis e satisfazem todas as equações do sistema.

Passo 7

Interpretação final e verificação direta: com \alpha=2 e \beta=1 a combinação linear é
2\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix} +1\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix} =\mathbf{b}.
Portanto existe combinação linear que gera \mathbf{b}, então \mathbf{b} pertence ao span \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.]

Resposta

Sim. \displaystyle \begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix}]

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