Determina se o conjunto
S=\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 4 \\\\ 6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 6 \\\\ 9 \end{array}\right]\right\}
gera \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\left\{\;v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\;v_{2}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]4\\[2pt]6\end{pmatrix},\;v_{3}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]9\end{pmatrix}\;\right\}
e pergunta se esse conjunto gera \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]4\\[2pt]6\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]9\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Determinar se \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^{3}, ou seja, se combinações lineares de v_{1},v_{2},v_{3} podem produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 2

Vou verificar relações simples entre os vetores: multiplique v_{1} por escalares inteiros para ver se dá v_{2} e v_{3}.
Calcule 2v_{1}:
2v_{1}=2\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]4\\[2pt]6\end{pmatrix}=v_{2}.
Calcule 3v_{1}:
3v_{1}=3\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]9\end{pmatrix}=v_{3}.
Portanto encontramos relações diretas: v_{2}=2v_{1} e v_{3}=3v_{1}.]

Passo 3

A partir de v_{2}=2v_{1} e v_{3}=3v_{1} concluo que qualquer combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} é, na verdade, um múltiplo de v_{1}. Escrevo isso matematicamente.
Se a,b,c\in\mathbb{R}, então
a v_{1}+b v_{2}+c v_{3} = a v_{1}+b(2v_{1})+c(3v_{1}) = \bigl(a+2b+3c\bigr)\,v_{1}.
Logo
\operatorname{span}(S)=\left\{t\,v_{1}\mid t\in\mathbb{R}\right\}.

Passo 4

Expliquei o que é a conclusão acima: \operatorname{span}(S) é o conjunto de todos os múltiplos escalares de v_{1}. Esse conjunto é uma reta (subespaço de dimensão 1) passando pela origem em \mathbb{R}^{3}.
Em palavras: todos os vetores de S estão na mesma direção (são colineares), portanto não conseguem preencher as três direções independentes necessárias para gerar \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Para reforçar, mostro explicitamente que os vetores são linearmente dependentes (o que impede gerar \mathbb{R}^{3}). Um exemplo de combinação linear não trivial que dá o vetor nulo é
(-2)\,v_{1}+1\cdot v_{2}+0\cdot v_{3}= -2v_{1}+v_{2}= -2v_{1}+2v_{1}=0.
Como existe essa combinação com coeficientes não todos nulos, os vetores são linearmente dependentes e o número máximo de vetores linearmente independentes em S é 1. Portanto \dim(\operatorname{span}(S))=1.

Passo 6

Comparando dimensões: \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3 enquanto \operatorname{span}(S) tem dimensão 1. Um subespaço de dimensão 1 não pode ser igual a \mathbb{R}^{3}. Assim S não gera \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Não. \operatorname{span}(S)=\{t\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\}, um subespaço de dimensão 1, logo não é \mathbb{R}^{3}.]

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