Determinar se \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^{3}, ou seja, se combinações lineares de v_{1},v_{2},v_{3} podem produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{3}.]
Passo 2
Vou verificar relações simples entre os vetores: multiplique v_{1} por escalares inteiros para ver se dá v_{2} e v_{3}.
Portanto encontramos relações diretas: v_{2}=2v_{1} e v_{3}=3v_{1}.]
Passo 3
A partir de v_{2}=2v_{1} e v_{3}=3v_{1} concluo que qualquer combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} é, na verdade, um múltiplo de v_{1}. Escrevo isso matematicamente.
Se a,b,c\in\mathbb{R}, então
a v_{1}+b v_{2}+c v_{3} = a v_{1}+b(2v_{1})+c(3v_{1}) = \bigl(a+2b+3c\bigr)\,v_{1}.
Expliquei o que é a conclusão acima: \operatorname{span}(S) é o conjunto de todos os múltiplos escalares de v_{1}. Esse conjunto é uma reta (subespaço de dimensão 1) passando pela origem em \mathbb{R}^{3}.
Em palavras: todos os vetores de S estão na mesma direção (são colineares), portanto não conseguem preencher as três direções independentes necessárias para gerar \mathbb{R}^{3}.
Passo 5
Para reforçar, mostro explicitamente que os vetores são linearmente dependentes (o que impede gerar \mathbb{R}^{3}). Um exemplo de combinação linear não trivial que dá o vetor nulo é
Como existe essa combinação com coeficientes não todos nulos, os vetores são linearmente dependentes e o número máximo de vetores linearmente independentes em S é 1. Portanto \dim(\operatorname{span}(S))=1.
Passo 6
Comparando dimensões: \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3 enquanto \operatorname{span}(S) tem dimensão 1. Um subespaço de dimensão 1 não pode ser igual a \mathbb{R}^{3}. Assim S não gera \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Não. \operatorname{span}(S)=\{t\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\}, um subespaço de dimensão 1, logo não é \mathbb{R}^{3}.]