Primeiro, vou explicar direitinho o que significa "geram \mathbb{R}^{2}". Dizemos que os vectores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} geram \mathbb{R}^{2} se, para qualquer vector arbitrário
Ou seja: qualquer vector de \mathbb{R}^{2} deve ser combinação linear de \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}.]
Passo 3
Vamos escrever a condição \mathbf{u}=\alpha\,\mathbf{v}_{1}+\beta\,\mathbf{v}_{2} em coordenadas. Se \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right], então
Agora vou resolver esse sistema para \alpha e \beta, mostrando que existe solução para quaisquer x e y. Faço eliminação: multiplico a primeira equação por 2 e subtraio a segunda.
Isso prova que \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} geram \mathbb{R}^{2}.]
Passo 7
(Antes de terminar, uma observação útil para provas: formar a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2},
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix},
e calcular o determinante \det(A)=1\cdot5-2\cdot3=5-6=-1\neq0. Como o determinante é diferente de zero, as colunas de A são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Isso é uma via alternativa e rápida para concluir que os vectores geram \mathbb{R}^{2}.)]
Resposta
\mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} geram \mathbb{R}^{2}. Para qualquer \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] tem-se