Mostra que os vectores seguintes geram \mathbb{R}^{2} :
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá dois vectores em \mathbb{R}^{2}:
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]2\end{array}\right],\qquad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]5\end{array}\right]
e pede para mostrar que esses vectores geram \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]2\end{array}\right],\quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]5\end{array}\right].]

Passo 2

Primeiro, vou explicar direitinho o que significa "geram \mathbb{R}^{2}". Dizemos que os vectores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} geram \mathbb{R}^{2} se, para qualquer vector arbitrário
\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\in\mathbb{R}^{2},
existirem escalares \alpha e \beta (números reais) tais que
\mathbf{u}=\alpha\,\mathbf{v}_{1}+\beta\,\mathbf{v}_{2}.
Ou seja: qualquer vector de \mathbb{R}^{2} deve ser combinação linear de \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}.]

Passo 3

Vamos escrever a condição \mathbf{u}=\alpha\,\mathbf{v}_{1}+\beta\,\mathbf{v}_{2} em coordenadas. Se \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right], então
\alpha\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]2\end{array}\right] +\beta\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]5\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right].
Isto dá o sistema linear em \alpha e \beta:
\begin{cases} \alpha+3\beta=x,\\[6pt] 2\alpha+5\beta=y. \end{cases}]

Passo 4

Agora vou resolver esse sistema para \alpha e \beta, mostrando que existe solução para quaisquer x e y. Faço eliminação: multiplico a primeira equação por 2 e subtraio a segunda.
2(\alpha+3\beta)=2x \quad\Rightarrow\quad 2\alpha+6\beta=2x.
Subtraindo a segunda equação 2\alpha+5\beta=y obtemos
(2\alpha+6\beta)-(2\alpha+5\beta)=2x-y \quad\Rightarrow\quad \beta=2x-y.

Passo 5

Com \beta encontrado, volto à primeira equação para achar \alpha:
\alpha+3\beta=x \quad\Rightarrow\quad \alpha=x-3\beta.
Substituindo \beta=2x-y temos
\alpha=x-3(2x-y)=x-6x+3y=-5x+3y.

Passo 6

Concluímos que, para quaisquer escalares x e y,
\alpha=-5x+3y,\qquad \beta=2x-y
satisfazem o sistema. Ou seja, para qualquer \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] existe combinação linear
\mathbf{u}=(-5x+3y)\,\mathbf{v}_{1}+(2x-y)\,\mathbf{v}_{2}.
Isso prova que \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} geram \mathbb{R}^{2}.]

Passo 7

(Antes de terminar, uma observação útil para provas: formar a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2},
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix},
e calcular o determinante \det(A)=1\cdot5-2\cdot3=5-6=-1\neq0. Como o determinante é diferente de zero, as colunas de A são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Isso é uma via alternativa e rápida para concluir que os vectores geram \mathbb{R}^{2}.)]

Resposta

\mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} geram \mathbb{R}^{2}. Para qualquer \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] tem-se
\mathbf{u}=(-5x+3y)\,\mathbf{v}_{1}+(2x-y)\,\mathbf{v}_{2}.]

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