gera \mathbb{R}^{4}?"\n
Informações dadas (explicitamente):\n
O conjunto \,S contém exatamente três vetores de \mathbb{R}^{4}: \,v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \,v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} e \,v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.\n
A pergunta é se as combinações lineares desses três vetores conseguem produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{4}, isto é, se \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^{4}.\n
Nada mais está pedido.]
Passo 2
Entendendo o que significa "gerar \mathbb{R}^{4}" (aula rápida e prática).\n
Definição: \operatorname{span}(S) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de S. Ou seja,
Para que \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^{4} é necessário que, para qualquer vetor y\in\mathbb{R}^{4}, existam escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 com y=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3.\n
Observação importante (fato básico de espaço vetorial): o número máximo de vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{4} é 4. Em particular, se você tem apenas 3 vetores, a dimensão do subespaço gerado por esses vetores não pode exceder 3. Portanto, em princípio, três vetores não podem gerar todo \mathbb{R}^{4} porque \dim(\mathbb{R}^{4})=4 e \dim(\operatorname{span}(S))\le 3.\n
Vou agora mostrar isso de maneira mais construtiva (para você saber o que fazer numa prova): além desse argumento de dimensão, é útil exibir um vetor não alcançável pelas combinações lineares — ou, equivalente e elegante, encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal a todos os vetores de S. Se existe w\neq 0 tal que w\cdot v_i=0 para i=1,2,3, então w é ortogonal a todo vetor em \operatorname{span}(S), logo \operatorname{span}(S) não pode ser \mathbb{R}^{4} (porque existem vetores em \mathbb{R}^{4} que não são ortogonais a w). Vou fazer exatamente isso passo a passo.
Passo 3
Procurando um vetor w=(a,b,c,d)^{T}\in\mathbb{R}^{4}, não nulo, tal que w seja ortogonal a cada gerador de S. Escrevemos as condições de ortogonalidade (produto escalar igual a zero) com os três vetores:\n
Com v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}:
Interpretação do que esse w\neq 0 nos diz (a parte conceitual importante para a prova):\n
Como w é ortogonal a cada vetor de S, ele é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores. Logo, para todo x\in\operatorname{span}(S) vale w\cdot x = 0.\n
Mas existem vetores em \mathbb{R}^{4} que não são ortogonais a w (por exemplo, escolha qualquer vetor y com w\cdot y\neq 0; isso é possível porque w\neq 0). Portanto \operatorname{span}(S) não pode ser todo \mathbb{R}^{4}; é um subespaço próprio de dimensão no máximo 3.\n
Essa conclusão é consistente também com o argumento mais simples de dimensão: você só tem 3 vetores, então a dimensão do subespaço gerado é no máximo 3, menor que 4.
Passo 6
Conclusão final e como responder na prova: não existe combinação linear dos três vetores que produza todos os vetores de \mathbb{R}^{4}; portanto S não gera \mathbb{R}^{4}. Um modo formal de expor isso em prova é mostrar o vetor w=(-1,2,1,-3)^{T} ortogonal a todos os geradores, como fizemos.