Determina se o conjunto
S=\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\}
gera \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pergunta: "Determina se o conjunto
S=\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\}
gera \mathbb{R}^{4}?"\n
Informações dadas (explicitamente):\n
  • O conjunto \,S contém exatamente três vetores de \mathbb{R}^{4}: \,v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \,v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} e \,v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.\n
  • A pergunta é se as combinações lineares desses três vetores conseguem produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{4}, isto é, se \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^{4}.\n
    Nada mais está pedido.]

Passo 2

Entendendo o que significa "gerar \mathbb{R}^{4}" (aula rápida e prática).\n
  • Definição: \operatorname{span}(S) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de S. Ou seja,
\operatorname{span}(S)=\left\{\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 \mid \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\right\}.
  • Para que \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^{4} é necessário que, para qualquer vetor y\in\mathbb{R}^{4}, existam escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 com y=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3.\n
  • Observação importante (fato básico de espaço vetorial): o número máximo de vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{4} é 4. Em particular, se você tem apenas 3 vetores, a dimensão do subespaço gerado por esses vetores não pode exceder 3. Portanto, em princípio, três vetores não podem gerar todo \mathbb{R}^{4} porque \dim(\mathbb{R}^{4})=4 e \dim(\operatorname{span}(S))\le 3.\n
    Vou agora mostrar isso de maneira mais construtiva (para você saber o que fazer numa prova): além desse argumento de dimensão, é útil exibir um vetor não alcançável pelas combinações lineares — ou, equivalente e elegante, encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal a todos os vetores de S. Se existe w\neq 0 tal que w\cdot v_i=0 para i=1,2,3, então w é ortogonal a todo vetor em \operatorname{span}(S), logo \operatorname{span}(S) não pode ser \mathbb{R}^{4} (porque existem vetores em \mathbb{R}^{4} que não são ortogonais a w). Vou fazer exatamente isso passo a passo.

Passo 3

Procurando um vetor w=(a,b,c,d)^{T}\in\mathbb{R}^{4}, não nulo, tal que w seja ortogonal a cada gerador de S. Escrevemos as condições de ortogonalidade (produto escalar igual a zero) com os três vetores:\n
  • Com v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}:
w\cdot v_1 = a\cdot 1 + b\cdot 2 + c\cdot 0 + d\cdot 1 = a + 2b + d = 0.
  • Com v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}:
w\cdot v_2 = a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 1 + d\cdot 1 = b + c + d = 0.
  • Com v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}:
w\cdot v_3 = a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 + d\cdot 0 = a + c = 0.
Temos, portanto, o sistema linear para a,b,c,d:
\begin{cases} a + 2b + d = 0,\\[4pt] b + c + d = 0,\\[4pt] a + c = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo (é só álgebra; explico cada substituição para você repetir na prova):\n
Da terceira equação \,a+c=0 obtemos
a = -c.
Da segunda equação \,b+c+d=0 isolamos b:
b = -c - d.
Substituímos a e b na primeira equação a+2b+d=0. Fazendo a substituição:
(-c) + 2(-c - d) + d = 0.
Calculando os termos:
-c -2c -2d + d = 0 \quad\Rightarrow\quad -3c - d = 0.
Isolando d:
d = -3c.
Agora voltamos para b:
b = -c - d = -c - (-3c) = -c + 3c = 2c.
E a = -c já tínhamos.\n
Portanto todas as incógnitas expressas em função de c ficam:
(a,b,c,d) = (-c,\;2c,\;c,\;-3c) = c\cdot(-1,\,2,\,1,\,-3).
Escolhendo c=1 obtemos um vetor não-nulo concreto:
w = \begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix}.
Verificação rápida (pra ficar seguro): calcule w\cdot v_1 = -1 + 4 + 0 -3 =0; w\cdot v_2 = 0 + 2 + 1 -3=0; w\cdot v_3 = -1 + 0 + 1 + 0=0. Tudo ok.]

Passo 5

Interpretação do que esse w\neq 0 nos diz (a parte conceitual importante para a prova):\n
  • Como w é ortogonal a cada vetor de S, ele é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores. Logo, para todo x\in\operatorname{span}(S) vale w\cdot x = 0.\n
  • Mas existem vetores em \mathbb{R}^{4} que não são ortogonais a w (por exemplo, escolha qualquer vetor y com w\cdot y\neq 0; isso é possível porque w\neq 0). Portanto \operatorname{span}(S) não pode ser todo \mathbb{R}^{4}; é um subespaço próprio de dimensão no máximo 3.\n
  • Essa conclusão é consistente também com o argumento mais simples de dimensão: você só tem 3 vetores, então a dimensão do subespaço gerado é no máximo 3, menor que 4.

Passo 6

Conclusão final e como responder na prova: não existe combinação linear dos três vetores que produza todos os vetores de \mathbb{R}^{4}; portanto S não gera \mathbb{R}^{4}. Um modo formal de expor isso em prova é mostrar o vetor w=(-1,2,1,-3)^{T} ortogonal a todos os geradores, como fizemos.

Resposta

Não, S não gera \mathbb{R}^{4}.

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