Determina a derivada das funções abaixo:
c) F(x)=2 cos ^2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x)=2cos^2 x
e pede a sua derivada F'(x). O conteúdo aqui é derivação de função composta e uso da regra da cadeia, além da derivada de cos x.

Passo 2

Reescrevendo, temos
F(x)=2l(cos(x)r)^2
Como 2 é constante, aplicamos
ddxl[2cdot u(x)r]=2cdot u'(x)
com u(x)=(cos(x))^2. Em seguida usamos a regra da cadeia para u(x).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
ddxl[(cos(x))^2r]=2cos(x),ddx[cos(x)]
Como ddx[cos(x)]=-,sin(x), isso dá
ddxl[(cos(x))^2r]=2cos(x),(-sin(x))=-2cos(x)sin(x)
Então
F'(x)=2cdotl(-2cos(x)sin(x)r)=-4cos(x)sin(x)

Passo 4

Para deixar a resposta mais elegante, usamos a identidade
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
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-4cos(x)sin(x)=-2l(2sin(x)cos(x)r)=-2sin(2x)

Resposta

F'(x)=-4cos(x)sin(x)=-2sin(2x)

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