Determina a derivada das funções abaixo:
e) F(x)=2 cos xsen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=2cos xsin x
O conteúdo envolvido é a regra do quociente e as derivadas de cos x e sin x.

Passo 2

Definimos
u(x)=2cos x, v(x)=sin x
Calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=2cdot(-sin x)=-2sin x,
v'(x)=cos x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
F'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Substituindo u, u', v e v' na fórmula:
F'(x) =(-2sin x),sin x - (2cos x),cos xsin^2 x =-2sin^2 x -2cos^2 xsin^2 x

Passo 5

Fatorando -2 no numerador e usando sin^2 x+cos^2 x=1:
F'(x) =-2(sin^2 x+cos^2 x)sin^2 x =-2sin^2 x =-2csc^2 x

Resposta

F'(x)=-2csc^2 x

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