Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
i) f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x-3 y \mathrm{c} x+2 y=3 j) f(x, y)=x^{2}-2 x y+3 y^{2} \mathrm{e} x^{2}+2 y^{2}=1

Passo 1

Temos duas partes (duas questões) e cada uma pede estudar máximos e mínimos da função dada sujeita à restrição dada. Listei abaixo, de forma clara, o que o enunciado fornece e o que é pedido.
(i) Dados:
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x-3y
restrição:
x+2y=3.
O que é pedido: determinar os pontos sobre a reta \;x+2y=3\; onde f tem extremos e caracterizá‑los (mínimo local, máximo local, se possível global).
(j) Dados:
f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}
restrição:
x^{2}+2y^{2}=1.
O que é pedido: determinar os pontos na elipse \;x^{2}+2y^{2}=1\; onde f atinge máximos e mínimos (valores e pontos).

Passo 2

Breve explicação da técnica que vou usar (aula rápida e prática): método dos multiplicadores de Lagrange.
  • Ideia intuitiva: para encontrar extremos de f(x,y) sujeitos a uma restrição g(x,y)=0, procuramos pontos onde os gradientes de f e g são paralelos, porque no ponto de máximo/minimo restrito, a variação de f tangente à curva de restrição deve ser zero. Isso se traduz em:
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y)
junto com a condição de restrição g(x,y)=0. Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real que ajusta a proporcionalidade).
  • Formalmente: formamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y)
e resolvemos o sistema
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad g(x,y)=0.
Isso dá pontos candidatos. Depois precisamos classificar esses candidatos (mínimo local, máximo local, etc.). Para classificar, posso:
  • reduzir o problema à restrição (substituir) e analisar a derivada segunda em 1 variável, ou
  • usar o teste da forma quadrática restrita (mais avançado). Vou usar a redução quando for fácil e a comparação direta quando a restrição é compacta (como elipse), pois aí valores obtidos são globais comparando os candidatos.

Passo 3

Aplicando Lagrange ao item (i).
Escrevo a restrição como
g(x,y)=x+2y-3=0.
Formo a Lagrangeana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^{3}+y^{3}-3x-3y-\lambda(x+2y-3).
Calculo as derivadas parciais e igualo a zero:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=3x^{2}-3-\lambda=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=3y^{2}-3-2\lambda=0,
x+2y-3=0.

Passo 4

Resolver o sistema do item (i).
Das duas primeiras equações expressamos \lambda:
\lambda=3x^{2}-3=3(x^{2}-1),
\lambda=\frac{3y^{2}-3}{2}=\frac{3}{2}(y^{2}-1).
Igualando essas expressões:
3(x^{2}-1)=\frac{3}{2}(y^{2}-1).
Dividindo por 3 e reorganizando:
2(x^{2}-1)=y^{2}-1\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=2x^{2}-1.
Agora junto com a restrição y=\dfrac{3-x}{2}. Substituo essa expressão em y^{2}=2x^{2}-1:
\left(\dfrac{3-x}{2}\right)^{2}=2x^{2}-1.
Calculo passo a passo:
\frac{(3-x)^{2}}{4}=2x^{2}-1
(3-x)^{2}=8x^{2}-4
9-6x+x^{2}=8x^{2}-4
0=8x^{2}-4 -9 +6x -x^{2} =7x^{2}+6x-13.
Então x satisfaz
7x^{2}+6x-13=0.
Calculando o discriminante \Delta=6^{2}-4\cdot7\cdot(-13)=36+364=400. Assim
x=\frac{-6\pm\sqrt{400}}{14}=\frac{-6\pm20}{14}.
As duas soluções são
x_{1}=1,\qquad x_{2}=-\frac{13}{7}.
Correspondentes y pela restrição y=\dfrac{3-x}{2}:
y_{1}=\frac{3-1}{2}=1,\qquad y_{2}=\frac{3-(-13/7)}{2}=\frac{34/7}{2}=\frac{17}{7}.
Portanto os candidatos são (1,1) e \left(-\dfrac{13}{7},\dfrac{17}{7}\right).

Passo 5

Avalio f nos candidatos do item (i).
Para (1,1):
f(1,1)=1^{3}+1^{3}-3\cdot1-3\cdot1=1+1-3-3=-4.
Para \left(-\dfrac{13}{7},\dfrac{17}{7}\right):
calculo passo a passo (para ficar certinho na prova):
x^{3}=\left(-\frac{13}{7}\right)^{3}=-\frac{2197}{343},\qquad y^{3}=\left(\frac{17}{7}\right)^{3}=\frac{4913}{343}.
Somando:
x^{3}+y^{3}=\frac{4913-2197}{343}=\frac{2716}{343}.
E
-3x-3y=-3\left(x+y\right)=-3\left(-\frac{13}{7}+\frac{17}{7}\right)=-3\cdot\frac{4}{7}=-\frac{12}{7}.
Convertendo para denominador 343:
-\frac{12}{7}=-\frac{588}{343}.
Então
f\!\left(-\frac{13}{7},\frac{17}{7}\right)=\frac{2716}{343}-\frac{588}{343}=\frac{2128}{343}.
Podemos deixar na forma racional \dfrac{2128}{343}\approx 6{,}205.

Passo 6

Classificação dos pontos do item (i): análise do tipo de extremo.
Uma maneira prática: reduzir o problema a uma única variável substituindo y=(3-x)/2 na função f, e analisar a segunda derivada no ponto crítico (é equivalente a acompanhar o sinal da segunda derivada ao longo da reta).
Substituindo, define-se g(x)=f\bigl(x,(3-x)/2\bigr). Calculando (com simplificações feitas):
g(x)=\frac{7}{8}x^{3}+\frac{9}{8}x^{2}-\frac{39}{8}x-\frac{9}{8}.
A derivada é proporcional a
g'(x)=\frac{1}{8}\bigl(21x^{2}+18x-39\bigr),
cujo polinômio interno 21x^{2}+18x-39 tem raízes exatamente x=1 e x=-13/7 (isto coincide com nossos candidatos). A segunda derivada é
g''(x)=\frac{1}{8}(42x+18).
Avalio em cada ponto:
  • Em x=1: g''(1)=\dfrac{1}{8}(42+18)=\dfrac{60}{8}>0 ⇒ mínimo local restrito.
  • Em x=-\dfrac{13}{7}: g''\!\left(-\dfrac{13}{7}\right)=\dfrac{1}{8}\bigl(42(-\tfrac{13}{7})+18\bigr)=\dfrac{1}{8}(-78+18)=\dfrac{-60}{8}<0 ⇒ máximo local restrito.
Observação final importante para (i): como a restrição é uma reta não compacta (na reta x+2y=3 as coordenadas podem crescer em módulo), a função f ao longo da reta tende a \pm\infty quando x\to\pm\infty (cheque o termo dominante (7/8)x^{3} em g(x)). Assim não existem máximo global nem mínimo global, apenas máximo e mínimo locais restritos que encontramos.

Passo 7

Agora resolvo a parte (j) com Lagrange e dou a interpretação matricial rápida (aula curta).
A restrição é
g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-1=0.
Formo
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^{2}-2xy+3y^{2}-\lambda(x^{2}+2y^{2}-1).
Derivadas parciais:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x-2y-2\lambda x=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=-2x+6y-4\lambda y=0,
x^{2}+2y^{2}-1=0.
Vou simplificar as primeiras duas equações dividindo por 2 quando possível:
(1-\lambda)x-y=0\quad\text{(equação A)},çã
- x+(3-2\lambda)y=0\quad\text{(equação B)}.çã

Passo 8

Resolver o sistema do item (j).
Da equação A temos y=(1-\lambda)x ou, se x=0, voltamos depois ao caso especial. Substituo y=(1-\lambda)x em B:
- x+(3-2\lambda)(1-\lambda)x=0.
Fatorando x:
x\Bigl[-1+(3-2\lambda)(1-\lambda)\Bigr]=0.
Assim temos duas possibilidades:
(i) x=0.
(ii) o fator entre colchetes é zero.
Trato primeiro o caso (i): x=0. Pela restrição 0+2y^{2}=1 obtemos y^{2}=\tfrac{1}{2}, isto é y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Avalio f nesses pontos:
f(0,\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}})=3y^{2}=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Então dois candidatos dão f=\tfrac{3}{2}.

Passo 9

Continuo caso (ii): resolvo
-1+(3-2\lambda)(1-\lambda)=0.
Expando:
(3-2\lambda)(1-\lambda)=3-3\lambda-2\lambda+2\lambda^{2}=3-5\lambda+2\lambda^{2}.
Então a equação fica
-1+(3-5\lambda+2\lambda^{2})=0\quad\Longrightarrow\quad 2\lambda^{2}-5\lambda+2=0.
Resolvo a quadrática: discriminante =25-16=9. Assim
\lambda=\frac{5\pm3}{4}.
Isso dá \lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=\tfrac{1}{2}.
Para cada \lambda encontro y em função de x pela equação y=(1-\lambda)x:
  • Se \lambda=2 então y=(1-2)x=-x. A restrição dá x^{2}+2x^{2}=3x^{2}=1, logo x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} e y=-x. Os pontos são
\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\qquad \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Avalio f com y=-x:
f=x^{2}-2x(-x)+3(-x)^{2}=x^{2}+2x^{2}+3x^{2}=6x^{2}=6\cdot\frac{1}{3}=2.
Então estes pontos dão f=2.
  • Se \lambda=\tfrac{1}{2} então y=(1-\tfrac{1}{2})x=\tfrac{1}{2}x. Pela restrição:
x^{2}+2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=x^{2}+2\cdot\frac{x^{2}}{4}=x^{2}+\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}=1,
logo x^{2}=\dfrac{2}{3} e x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}. Assim y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}} com o mesmo sinal de x. Os pontos são
\left(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\frac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right),\qquad \left(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},-\frac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).
Avalio f com y=\tfrac{1}{2}x:
f=x^{2}-2x\cdot\frac{x}{2}+3\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=x^{2}-x^{2}+3\frac{x^{2}}{4}=\frac{3}{4}x^{2}.
Usando x^{2}=\tfrac{2}{3}:
f=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.
Então estes pontos dão f=\tfrac{1}{2}.

Passo 10

Classificação final para o item (j).
A restrição x^{2}+2y^{2}=1 define uma elipse compacta e f é contínua, logo os valores extremos absolutos de f na elipse existem e coincidem com os maiores e menores valores entre os candidatos encontrados: temos os valores
\frac{1}{2},\quad \frac{3}{2},\quad 2.
Portanto:
  • Mínimo global é f_{\min}=\dfrac{1}{2} nos pontos \left(\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}},\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right) (mesmo sinal entre x e y).
  • Máximo global é f_{\max}=2 nos pontos \left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}},\mp\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) (sinais opostos).
  • Os pontos com x=0,y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} dão valor intermediário f=\dfrac{3}{2}.

Resposta

(i) Pontos candidatos: (1,1) com f(1,1)=-4 (mínimo local restrito) e \left(-\dfrac{13}{7},\dfrac{17}{7}\right) com f=\dfrac{2128}{343}\approx6{,}205 (máximo local restrito). Não há máximo ou mínimo global (função é não limitada ao longo da reta).
(j) Máximo global: f_{\max}=2 em \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) e \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
Mínimo global: f_{\min}=\dfrac{1}{2} em \left(\sqrt{\dfrac{2}{3}},\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}},-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right).

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