Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
i)
j)
i)
Passo 1
Temos duas partes (duas questões) e cada uma pede estudar máximos e mínimos da função dada sujeita à restrição dada. Listei abaixo, de forma clara, o que o enunciado fornece e o que é pedido.
(i) Dados:
restrição:
O que é pedido: determinar os pontos sobre a reta
onde
tem extremos e caracterizá‑los (mínimo local, máximo local, se possível global).
(j) Dados:
restrição:
O que é pedido: determinar os pontos na elipse
onde
atinge máximos e mínimos (valores e pontos).
Passo 2
Breve explicação da técnica que vou usar (aula rápida e prática): método dos multiplicadores de Lagrange.
- Ideia intuitiva: para encontrar extremos de
sujeitos a uma restrição , procuramos pontos onde os gradientes de e são paralelos, porque no ponto de máximo/minimo restrito, a variação de tangente à curva de restrição deve ser zero. Isso se traduz em:
junto com a condição de restrição
. Aqui
é o multiplicador de Lagrange (um número real que ajusta a proporcionalidade).
- Formalmente: formamos a função de Lagrange
e resolvemos o sistema
Isso dá pontos candidatos. Depois precisamos classificar esses candidatos (mínimo local, máximo local, etc.). Para classificar, posso:
- reduzir o problema à restrição (substituir) e analisar a derivada segunda em 1 variável, ou
- usar o teste da forma quadrática restrita (mais avançado). Vou usar a redução quando for fácil e a comparação direta quando a restrição é compacta (como elipse), pois aí valores obtidos são globais comparando os candidatos.
Passo 3
Aplicando Lagrange ao item (i).
Escrevo a restrição como
Formo a Lagrangeana
Calculo as derivadas parciais e igualo a zero:
Passo 4
Resolver o sistema do item (i).
Das duas primeiras equações expressamos
:
Igualando essas expressões:
Dividindo por
e reorganizando:
Agora junto com a restrição
. Substituo essa expressão em
:
Calculo passo a passo:
Então
satisfaz
Calculando o discriminante
. Assim
As duas soluções são
Correspondentes
pela restrição
:
Portanto os candidatos são
e
.
Passo 5
Avalio
nos candidatos do item (i).
Para
:
Para
:
calculo passo a passo (para ficar certinho na prova):
calculo passo a passo (para ficar certinho na prova):
Somando:
E
Convertendo para denominador
:
Então
Podemos deixar na forma racional
.
Passo 6
Classificação dos pontos do item (i): análise do tipo de extremo.
Uma maneira prática: reduzir o problema a uma única variável substituindo
na função
, e analisar a segunda derivada no ponto crítico (é equivalente a acompanhar o sinal da segunda derivada ao longo da reta).
Substituindo, define-se
. Calculando (com simplificações feitas):
A derivada é proporcional a
cujo polinômio interno
tem raízes exatamente
e
(isto coincide com nossos candidatos). A segunda derivada é
Avalio em cada ponto:
- Em
: ⇒ mínimo local restrito. - Em
: ⇒ máximo local restrito.
Observação final importante para (i): como a restrição é uma reta não compacta (na reta
as coordenadas podem crescer em módulo), a função
ao longo da reta tende a
quando
(cheque o termo dominante
em
). Assim não existem máximo global nem mínimo global, apenas máximo e mínimo locais restritos que encontramos.
Passo 7
Agora resolvo a parte (j) com Lagrange e dou a interpretação matricial rápida (aula curta).
A restrição é
Formo
Derivadas parciais:
Vou simplificar as primeiras duas equações dividindo por
quando possível:
Passo 8
Resolver o sistema do item (j).
Da equação A temos
ou, se
, voltamos depois ao caso especial. Substituo
em B:
Fatorando
:
Assim temos duas possibilidades:
(i)
.
(ii) o fator entre colchetes é zero.
(ii) o fator entre colchetes é zero.
Trato primeiro o caso (i):
. Pela restrição
obtemos
, isto é
. Avalio
nesses pontos:
Então dois candidatos dão
.
Passo 9
Continuo caso (ii): resolvo
Expando:
Então a equação fica
Resolvo a quadrática: discriminante
. Assim
Isso dá
e
.
Para cada
encontro
em função de
pela equação
:
- Se
então . A restrição dá , logo e . Os pontos são
Avalio
com
:
Então estes pontos dão
.
- Se
então . Pela restrição:
logo
e
. Assim
com o mesmo sinal de
. Os pontos são
Avalio
com
:
Usando
:
Então estes pontos dão
.
Passo 10
Classificação final para o item (j).
A restrição
define uma elipse compacta e
é contínua, logo os valores extremos absolutos de
na elipse existem e coincidem com os maiores e menores valores entre os candidatos encontrados: temos os valores
Portanto:
- Mínimo global é
nos pontos (mesmo sinal entre e ). - Máximo global é
nos pontos (sinais opostos). - Os pontos com
dão valor intermediário .
Resposta
(i) Pontos candidatos:
com
(mínimo local restrito) e
com
(máximo local restrito). Não há máximo ou mínimo global (função é não limitada ao longo da reta).
(j) Máximo global:
em
e
.
Mínimo global: em
e
.
Mínimo global: