Resolva o problema de valor inicial dado empregando transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede a solução usando transformadas de Laplace. As informações dadas são:
As perguntas implícitas são:
- Encontrar a transformada de Laplace da solução
. - Obter
por inversa da transformada de Laplace.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação. Denotamos
Antes de aplicar, lembro duas fórmulas importantes (explico em qual passo uso cada uma):
- Transformada da derivada segunda:
Aqui
é a variável da transformada e
são os valores iniciais da função e sua derivada.
- Transformada do impulso deslocado (delta de Dirac):
Passo 3
Agora aplico a transformada à equação inteira. Pela linearidade,
Usando a fórmula da derivada segunda e as condições iniciais
, obtemos
E claramente
. No lado direito, usando a fórmula do delta com
,
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação transformada:
Fatorando
:
Passo 5
Isolamos
:
Neste ponto é útil reconhecer a forma padrão para inverter a transformada. Precisamos aplicar o teorema do deslocamento (segunda propriedade de deslocamento): se
então
onde
é a função degrau de Heaviside centrada em
.
Passo 6
Para aplicar o teorema de deslocamento, identificamos
Precisamos encontrar
. Lembro a transformada conhecida:
Comparando com
, vemos que tomando
temos
Portanto a função inversa é
Explico rápido:
é a transformada de
, então dividir por
dá o nosso
.
Passo 7
Agora uso o teorema do deslocamento: como
, a inversa é
Substituindo
:
Aqui
é a função degrau de Heaviside, que vale
para
e
para
. Isso faz sentido físico: o impulso
atua somente em
, portanto a resposta livre é zero antes de
e a partir de
começa uma oscilação dada por
.
Passo 8
Verificação rápida das condições iniciais (para me deixar mais confiante):
- Para
, então (ok). - A derivada à esquerda em
também é zero pois função é nula para , então (ok).