Resolva o problema de valor inicial dado empregando transformadas de Laplace.
\frac{d^{2} v}{d t^{2}}+3 y=\delta(t-4)
y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede a solução usando transformadas de Laplace. As informações dadas são:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+3y=\delta(t-4)
y(0)=0,\quad y'(0)=0.
As perguntas implícitas são:
  • Encontrar a transformada de Laplace da solução y(t).
  • Obter y(t) por inversa da transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação. Denotamos
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Antes de aplicar, lembro duas fórmulas importantes (explico em qual passo uso cada uma):
  • Transformada da derivada segunda:
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui s é a variável da transformada e y(0),y'(0) são os valores iniciais da função e sua derivada.
  • Transformada do impulso deslocado (delta de Dirac):
\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-a s}\quad\text{para }a\ge 0.

Passo 3

Agora aplico a transformada à equação inteira. Pela linearidade,
\mathcal{L}\{y''(t)\}+3\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{\delta(t-4)\}.
Usando a fórmula da derivada segunda e as condições iniciais y(0)=0,\\ y'(0)=0, obtemos
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\cdot 0-0=s^{2}Y(s).
E claramente \mathcal{L}\{3y(t)\}=3Y(s). No lado direito, usando a fórmula do delta com a=4,
\mathcal{L}\{\delta(t-4)\}=e^{-4s}.

Passo 4

Substituindo essas transformadas na equação transformada:
s^{2}Y(s)+3Y(s)=e^{-4s}.
Fatorando Y(s):
\bigl(s^{2}+3\bigr)Y(s)=e^{-4s}.

Passo 5

Isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{e^{-4s}}{s^{2}+3}.
Neste ponto é útil reconhecer a forma padrão para inverter a transformada. Precisamos aplicar o teorema do deslocamento (segunda propriedade de deslocamento): se
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s),
então
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside centrada em a.

Passo 6

Para aplicar o teorema de deslocamento, identificamos
F(s)=\frac{1}{s^{2}+3}.
Precisamos encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Lembro a transformada conhecida:
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Comparando com F(s), vemos que tomando \omega=\sqrt{3} temos
\frac{1}{s^{2}+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{s^{2}+(\sqrt{3})^{2}}.
Portanto a função inversa é
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+3}\right\}=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr).
Explico rápido: \sqrt{3}/(s^{2}+3) é a transformada de \sin(\sqrt{3}\,t), então dividir por \sqrt{3} dá o nosso F(s).

Passo 7

Agora uso o teorema do deslocamento: como Y(s)=e^{-4s}F(s), a inversa é
y(t)=u(t-4)\,f(t-4).
Substituindo f:
y(t)=u(t-4)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\bigl(\sqrt{3}(t-4)\bigr).
Aqui u(t-4) é a função degrau de Heaviside, que vale 0 para t<4 e 1 para t>4. Isso faz sentido físico: o impulso \delta(t-4) atua somente em t=4, portanto a resposta livre é zero antes de t=4 e a partir de t=4 começa uma oscilação dada por \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}(t-4)).

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais (para me deixar mais confiante):
  • Para t=0<4, u(0-4)=0 então y(0)=0 (ok).
  • A derivada à esquerda em t=0 também é zero pois função é nula para t<4, então y'(0)=0 (ok).

Resposta

y(t)=u(t-4)\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\bigl(\sqrt{3}(t-4)\bigr)

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