Como se determina a ordem e o grau de uma equação diferencial? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para entender como determinar a ordem e o grau de uma equação diferencial, dando exemplos. O conteúdo é teoria de equações diferenciais ordinárias: vamos precisar saber que a ordem é a maior derivada que aparece e que o grau é o expoente dessa derivada, depois de tornar a equação polinomial.

Passo 2

A ordem de uma equação diferencial é o índice da derivada de maior ordem que aparece. Por exemplo, na equação
d^3ydx^3 + xd^2ydx^2 - y = 0
aparece até a terceira derivada de y, logo a ordem é 3.

Passo 3

O grau de uma equação diferencial é o expoente da derivada de maior ordem, depois de remover radicais ou frações que envolvem derivadas, de forma que a equação fique polinomial nas derivadas. Por exemplo, na equação
gl(d^2ydx^2gr)^2 + dydx + y = 0
a derivada de maior ordem é tfracd^2ydx^2 e seu expoente é 2, então o grau é 2.

Passo 4

Se aparecerem derivadas dentro de funções não polinomiais (como raízes, sin, e^, etc.), o grau não fica definido. Por exemplo:
sinl(dydxr) + y = 0
tem ordem 1 e grau indefinido; e
raizd^2ydx^2 + y = 0
tem ordem 2 e grau indefinido.

Resposta

A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas presentes na equação. O grau é o expoente em que aparece essa derivada de maior ordem, após eliminar radicais e frações envolvendo derivadas, tornando a equação polinomial nas derivadas.
Exemplos:
tfracd^3ydx^3 + xtfracd^2ydx^2 - y = 0: ordem 3, grau 1.
l(tfracd^2ydx^2r)^2 + tfracdydx + y = 0: ordem 2, grau 2.
sin(tfracdydx) + y = 0: ordem 1, grau indefinido.
raiztfracd^2ydx^2 + y = 0: ordem 2, grau indefinido.

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