(x^2-y^2) d x+x(x-2 y) d y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é (x^2 - y^2),dx + x(x - 2y),dy = 0. Note que as funções M(x,y)=x^2-y^2 e N(x,y)=x(x-2y) são homogêneas de grau 2, logo o problema se resolve por substituição típica de equação homogênea, definindo y=ux e dy = u,dx + x,du.

Passo 2

Substituindo y=ux em (x^2 - y^2) + x(x-2y),y'=0 (ou diretamente em (x^2-y^2),dx + x(x-2y),dy=0), obtemos
u + xdudx = -1-u^21-2u
Essa expressão isola du/dx, levando à separação de variáveis:
1-2u3u^2 - u - 1,du = dxx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, escrevemos
1-2u3u^2 - u - 1 = -136u-13u^2-u-1 + 2/33u^2-u-1
Integrando cada parte:
integral -136u-13u^2-u-1,du = -13ln|3u^2 - u - 1| + C1
integral 2/33u^2-u-1,du = 43raiz13arctanhl(6u-1raiz13r) + C2
integral dxx = ln|x| + C3

Passo 4

Somando os resultados e juntando as constantes, chegamos à forma implícita:
-13ln|3u^2 - u - 1| + 43raiz13arctanhl(6u-1raiz13r) = ln|x| + C
Substituindo de volta u=yx, a solução geral implícita é
-13lnl|3y^2x^2 - yx -1r| + 43raiz13arctanhl(6yx-1raiz13r) = ln|x| + C

Resposta

Uma forma implícita da solução geral é
-tfrac13lnl|3tfracy^2x^2 - tfracyx -1r| + tfrac43raiz13arctanhl(tfrac6y/x-1raiz13r) = ln|x| + C

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