QUANTAS BANDEIRAS RETANGULARES COM LISTAS VERTICAIS HÁ COM:
TRÊS LISTAS, USANDO CINCO CORES COM REPETIÇÕES (NÃO ADJACENTES)?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas bandeiras retangulares com listas verticais existem quando temos \;3\; listas (faixas verticais) e \;5\; cores disponíveis, sendo permitidas repetições de cor desde que cores idênticas não fiquem em listas adjacentes. \nInformações dadas: \;3\; listas, \;5\; cores, repetições permitidas, restrição: duas listas adjacentes não podem ter a mesma cor. \nO que queremos: o número total de sequências de cores de comprimento \;3\; que obedecem a essa regra.

Passo 2

Conceito que vamos usar: princípio multiplicativo (regra do produto). Ele diz que, se uma tarefa é composta por etapas em sequência e a primeira etapa pode ser feita de a maneiras e, para cada escolha da primeira, a segunda pode ser feita de b maneiras, então as duas etapas juntas podem ser feitas de a\cdot b maneiras. Para três etapas com a, b, c opções sucessivas, o total é a\cdot b\cdot c. \nAqui cada lista é uma etapa: escolher a cor da primeira lista, depois da segunda, depois da terceira. Aplicamos o princípio multiplicativo respeitando a restrição “não adjacente”.

Passo 3

Escolha da cor da primeira lista: não há restrição anterior, então podemos escolher qualquer uma das \;5\; cores. Logo, número de opções para a primeira lista = \;5\;.

Passo 4

Escolha da cor da segunda lista: não pode ser igual à cor escolhida na primeira lista. Como havia \;5\; cores no total e uma delas está proibida (a usada na primeira), restam \;5-1=4\; opções válidas para a segunda lista. Logo, para cada escolha da primeira lista há \;4\; escolhas possíveis para a segunda.

Passo 5

Escolha da cor da terceira lista: a única restrição é não ser igual à cor da segunda (a restrição não envolve a primeira diretamente). Assim, independentemente do que foi escolhido na primeira, depois de fixar a segunda cor restam \;5-1=4\; opções para a terceira lista. Portanto, para cada sequência das duas primeiras listas, há \;4\; opções para a terceira.

Passo 6

Agora aplicamos o princípio multiplicativo com as quantidades obtidas em cada etapa: \;5\; opções para a primeira, \;4\; para a segunda (para cada primeira) e \;4\; para a terceira (para cada segunda). Logo o número total de bandeiras é
5 \times 4 \times 4.
Calculando passo a passo: 5 \times 4 = 20,
20 \times 4 = 80.

Resposta

80

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