QUANTAS BANDEIRAS RETANGULARES COM LISTAS VERTICAIS HÁ COM:
TRÊS LISTAS, USANDO CINCO CORES COM REPETIÇÕES (NÃO ADJACENTES)?
TRÊS LISTAS, USANDO CINCO CORES COM REPETIÇÕES (NÃO ADJACENTES)?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas bandeiras retangulares com listas verticais existem quando temos
listas (faixas verticais) e
cores disponíveis, sendo permitidas repetições de cor desde que cores idênticas não fiquem em listas adjacentes. \nInformações dadas:
listas,
cores, repetições permitidas, restrição: duas listas adjacentes não podem ter a mesma cor. \nO que queremos: o número total de sequências de cores de comprimento
que obedecem a essa regra.
Passo 2
Conceito que vamos usar: princípio multiplicativo (regra do produto). Ele diz que, se uma tarefa é composta por etapas em sequência e a primeira etapa pode ser feita de
maneiras e, para cada escolha da primeira, a segunda pode ser feita de
maneiras, então as duas etapas juntas podem ser feitas de
maneiras. Para três etapas com
,
,
opções sucessivas, o total é
. \nAqui cada lista é uma etapa: escolher a cor da primeira lista, depois da segunda, depois da terceira. Aplicamos o princípio multiplicativo respeitando a restrição “não adjacente”.
Passo 3
Escolha da cor da primeira lista: não há restrição anterior, então podemos escolher qualquer uma das
cores. Logo, número de opções para a primeira lista =
.
Passo 4
Escolha da cor da segunda lista: não pode ser igual à cor escolhida na primeira lista. Como havia
cores no total e uma delas está proibida (a usada na primeira), restam
opções válidas para a segunda lista. Logo, para cada escolha da primeira lista há
escolhas possíveis para a segunda.
Passo 5
Escolha da cor da terceira lista: a única restrição é não ser igual à cor da segunda (a restrição não envolve a primeira diretamente). Assim, independentemente do que foi escolhido na primeira, depois de fixar a segunda cor restam
opções para a terceira lista. Portanto, para cada sequência das duas primeiras listas, há
opções para a terceira.
Passo 6
Agora aplicamos o princípio multiplicativo com as quantidades obtidas em cada etapa:
opções para a primeira,
para a segunda (para cada primeira) e
para a terceira (para cada segunda). Logo o número total de bandeiras é
Calculando passo a passo: