© determina se a série converge (justifique).
14+24+2^24+cdots+2^k-14+cdots

Passo 1

Resumindo o enunciado: a questão pede para determinar se a série tfrac14+tfrac24+tfrac2^24+cdots+tfrac2^k-14+cdots converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas, especialmente séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para elas.

Passo 2

Vamos reescrever a série em forma de soma infinita como
sumk=1^infty 2^k-14
Note que isso é uma série geométrica de primeiro termo a=tfrac2^04=tfrac14 e razão r=2, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por 2.

Passo 3

Lembrando do critério de convergência da série geométrica: a série sumk=1^infty a,r^k-1 converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso, sua soma seria
sumk=1^infty a,r^k-1=a1-r
Se |r|>=1, a série diverge.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso, temos |r|=2>1, logo a série diverge. Para ilustrar, podemos olhar para a soma parcial
Sn=a,(r^n-1)r-1=tfrac14,(2^n-1)2-1=2^n-14
que tende a +infty quando ntoinfty, confirmando a divergência.

Resposta

A série é geométrica com razão r=2 e como |r|>1, a série diverge.

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