Encontre o volume do sólido de revolução das regiões abaixo. Esboce a região e o sólido.
, em torno do eixo
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume desse sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas $ y = x^2 + 1 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ x = 2 $ é girada em torno do eixo $ y $. Vamos usar o cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva $ y = x^2 + 1 $ é uma parábola que abre para cima, começando no ponto $ (0,1) $. As linhas $ x = 0 $ e $ x = 2 $ são as fronteiras laterais, e $ y = 0 $ é o eixo horizontal. Então, a região está entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $, de $ y = 0 $ até $ y = x^2 + 1 $.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo $ y $, é mais fácil usar o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Esse método envolve integrar ao longo do eixo $ x $, calculando a área de cada “casca” que forma o sólido.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a altura da casca, que nesse caso é $ y = x^2 + 1 $, e $ a = 0 $, $ b = 2 $.
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, multiplicamos $ x $ por $ x^2 + 1 $:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 12\pi $ unidades cúbicas.