Encontre o volume do sólido de revolução das regiões abaixo. Esboce a região e o sólido.
y=x^2+1, x=0, y=0, x=2, em torno do eixo y.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume desse sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas $ y = x^2 + 1 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ x = 2 $ é girada em torno do eixo $ y $. Vamos usar o cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva $ y = x^2 + 1 $ é uma parábola que abre para cima, começando no ponto $ (0,1) $. As linhas $ x = 0 $ e $ x = 2 $ são as fronteiras laterais, e $ y = 0 $ é o eixo horizontal. Então, a região está entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $, de $ y = 0 $ até $ y = x^2 + 1 $.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo $ y $, é mais fácil usar o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Esse método envolve integrar ao longo do eixo $ x $, calculando a área de cada “casca” que forma o sólido.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a altura da casca, que nesse caso é $ y = x^2 + 1 $, e $ a = 0 $, $ b = 2 $.

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
V = 2pi integral0^2 x cdot (x^2 + 1) , dx
Primeiro, multiplicamos $ x $ por $ x^2 + 1 $:
x

Passo 6

Agora, a integral fica:
V = 2pi integral0^2 (x^3 + x) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral x^3 , dx = x^44
integral x , dx = x^22

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
V = 2pi [ ( 2^44 + 2^22 ) - ( 0^44 + 0^22 ) ]
Calculando cada parte:
2^44 = 164 = 4
2^22 = 42 = 2

Passo 8

Substituindo de volta:
V = 2pi (4 + 2) = 2pi cdot 6 = 12pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 12\pi $ unidades cúbicas.

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