Resolva os seguintes itens:
(a) Seja f(x, y, z)=x^2 z. Calcule integral duplaS f d S, onde S é a superfície cilíndrica S=(x, y, z): x^2+y^2=1,0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaSf,dS, onde f(x,y,z)=x^2z e S é o cilindro definido por x^2+y^2=1, 0<= z<=1. O assunto é integral de superfície de função escalar e vamos usar parametrização de superfícies junto com o cálculo de |rutimes rv|.

Passo 2

Para parametrizar o cilindro, escolhemos parâmetros t e z de modo que
r(t,z)=(cos t,,sin t,,z), 0<= t<=2pi, 0<= z<=1

Passo 3

Calculamos os vetores parciais e seu produto vetorial:
rt=(-sin t,,cos t,,0), rz=(0,0,1),
rttimes rz=(cos t,,sin t,,0), |rttimes rz|=1

Passo 4

Logo dS=|rttimes rz|,dt,dz=dt,dz. Substituindo x=cos t em f e incluindo dS,
integral duplaSf,dS=integral0^2piintegral0^1(cos^2t,z),dz,dt

Passo 5

Separamos em duas integrais:
integral0^1z,dz=12, integral0^2picos^2t,dt=pi

Passo 6

Multiplicando os resultados obtemos o valor da integral de superfície.

Resposta

tfracpi2

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