Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y=raizx, y=raiz3 x-18 e y=0. Se f é uma função contínua arbitrária em D, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A em termos de integrais iteradas utilizando apenas: Teorema 1.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a região D limitada por três curvas: y=√x, y=√(3x−18) e y=0. O objetivo é aplicar o Teorema 1 (Fubini) para reescrever a integral dupla integral duplaD f(x,y),dA como uma integral iterada.

Passo 2

Identificação dos limites em y: como y=√x e y=√(3x−18) se cruzam quando √x=√(3x−18), elevando ao quadrado a gente obtém x=3x−18, ou seja 2x=18 e x=9. Então y=√9=3. Considerando y≥0, concluímos que 0<= y<=3.

Passo 3

Determinação dos limites em x para cada y: a curva y=√x vira x=y^2 e a curva y=√(3x−18) vira x=tfracy^23+6. Para cada y em [0,3], a região fica entre essas duas abscissas, e como y^2<=tfracy^23+6 em [0,3], temos y^2<= x<=tfracy^23+6.

Passo 4

Aplicação do Teorema 1: com os limites apontados, a integral dupla se transforma em uma integral iterada primeiro em x e depois em y.

Resposta

integral duplaDf(x,y),dA=integraly=0^3integralx=y^2^tfracy^23+6f(x,y),dx,dy

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