Determina o vértice, os zeros e o contradomínio das funções quadráticas.
y=-(1+x)(2-x)

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
y = -(1+x)(2-x)
e pede três coisas:
  1. os zeros (raízes),
  2. o vértice,
  3. o contradomínio (conjunto imagem).
    Para resolver, vamos primeiro escrever y na forma padrão ax^2+bx+c, depois achar as raízes por fatoração, usar a fórmula do vértice e, por fim, deduzir o contradomínio a partir da concavidade e do valor do vértice.

Passo 2

Expandimos a expressão:
(1+x)(2-x) = x\cdot2 + 1\cdot2 - x\cdot x -1\cdot x = -x^2 + x +2.
Como há o sinal “ -” na frente,
y = -\bigl(-x^2 + x +2\bigr) = x^2 - x -2.
Assim identificamos a=1, b=-1, c=-2.

Passo 3

Para achar os zeros, resolvemos
x^2 - x -2 = 0.
Fatorando, buscamos dois números com produto -2 e soma -1, que são -2 e 1. Então
x^2 - x -2 = (x-2)(x+1),
de onde os zeros são
x=2 \quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 4

O vértice \bigl(x_v,y_v\bigr) de ax^2+bx+c satisfaz
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2\cdot1} = \frac12.
Para y_v, substituímos x=\tfrac12 em y=x^2-x-2:
y_v = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 - \tfrac12 -2 = \tfrac14 - \tfrac12 -2 = -\tfrac94.
Logo o vértice é
\Bigl(\tfrac12,\,-\tfrac94\Bigr).

Passo 5

Como a=1>0, a parábola abre para cima e atinge um valor mínimo em y_v=-\tfrac94. Portanto o contradomínio (imagem) é
\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge -\tfrac94\}.

Resposta

Zeros: x=-1 e x=2
Vértice: \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac94\bigr)
Contradomínio: \bigl[-\tfrac94,\infty\bigr)

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