Determinação de f(z) : Substitua a forma assumida para vtheta na equação do momento theta simplificada. Resolva a equação diferencial resultante, aplicando as condições de contorno:
  • vtheta=0 no disco superior (z=H),
  • vtheta=r omega no disco inferior (z=0).
Encontre explicitamente a função f(z).

Passo 1

O enunciado pede que determinemos a função f(z) assumindo
vtheta(r,z)=r,f(z)
e que essa forma satisfaça a equação de momento na direção theta simplificada, ou seja
partial^2vthetapartial z^2=0
com as condições de contorno
;vtheta(r,0)=r,omega; e ;vtheta(r,H)=0.

Passo 2

Substituindo vtheta(r,z)=r,f(z) na equação
partial^2vthetapartial z^2=0
temos
partial^2partial z^2l(r,f(z)r) =r,d^2fdz^2(z)=0
Como rneq0, segue
d^2fdz^2(z)=0

Passo 3

Integramos a equação ordinária
d^2fdz^2(z)=0
para obter
dfdz(z)=C1,
f(z)=C1,z + C2,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno:
1. Em z=0:
vtheta(r,0)=r,f(0)=r,omega ;Longrightarrow; f(0)=omega ;Longrightarrow; C2=omega
2. Em z=H:
vtheta(r,H)=r,f(H)=0 ;Longrightarrow; f(H)=0 ;Longrightarrow; C1,H + C2=0
Substituindo C2=omega, segue
C1=-omegaH

Passo 5

Logo, a solução para f(z) fica
f(z)=C1,z + C2 =-omegaH,z + omega =omegal(1-zHr)

Resposta

f(z)=omegal(1-zHr)

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