Equação da Continuidade: A partir da equação geral da continuidade em coordenadas cilíndricas, simplifique-a para o caso em estudo. Com base na equação resultante, determine de quais coordenadas (r, theta, z) a velocidade vtheta pode depender.

Passo 1

O enunciado pede para começar da equação geral da continuidade em coordenadas cilíndricas e, ao simplificá-la para o caso em estudo (escoamento puramente circunferencial), mostrar de quais coordenadas (r,theta,z) a componente de velocidade vtheta pode depender.

Passo 2

A equação geral da continuidade para um fluido com densidade rho em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) é
partial rhopartial t +1rpartial (r,rho,vr)partial r +1rpartial (rho,vtheta)partial theta +partial (rho,vz)partial z =0

Passo 3

Assumimos escoamento incompressível e estacionário, logo rho= constante e partialrho/partial t=0. A continuidade fica
1rpartial (r,vr)partial r +1rpartial vthetapartial theta +partial vzpartial z =0

Passo 4

No caso em estudo temos escoamento puramente circunferencial, isto é,
vr=0, vz=0
Substituindo na continuidade:
1rpartial (rcdot 0)partial r +1rpartial vthetapartial theta +partial 0partial z =0 Longrightarrow 1r,partial vthetapartial theta=0 ;;Longrightarrow;; partial vthetapartial theta=0

Passo 5

Como partial vtheta/partial theta=0, concluímos que vtheta não pode depender de theta. A continuidade não impõe restrição sobre dependência em r ou em z, de modo que
vtheta=vtheta(r,z)

Resposta

A componente de velocidade vtheta pode depender apenas de r e de z, mas não de theta.

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