Determinação do Raio de Convergência: Encontre o raio de convergência da seguinte série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o raio de convergência dessa série de potências:
Isso faz parte da matéria de Análise de Séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que para uma série
, calculamos o limite:
Se
L < 1 , a série converge absolutamente. Se
L > 1 , ela diverge. Se
L = 1 , o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos aplicar o teste na nossa série. Aqui,
an = 2^n x^nn . Vamos calcular
an+1an :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
n tende ao infinito:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que
L < 1 . Então:
Isso significa que o raio de convergência é
12 .
Resposta
O raio de convergência da série é
12 .