Determinação do Raio de Convergência: Encontre o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty 2^n x^nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o raio de convergência dessa série de potências:
sumn=1^infty 2^n x^nn
Isso faz parte da matéria de Análise de Séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, ela diverge. Se L = 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar o teste na nossa série. Aqui, an = 2^n x^nn. Vamos calcular an+1an:
an+1an = 2^n+1 x^n+1 / (n+1)2^n x^n / n = 2x cdot nn+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | 2x cdot nn+1 | = limn to infty | 2x cdot nn+1 | = 2|x| cdot limn to infty nn+1 = 2|x| cdot 1 = 2|x|

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que L < 1. Então:
2|x| < 1 implies |x| < 12
Isso significa que o raio de convergência é 12.

Resposta

O raio de convergência da série é 12.

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