Expresse d yd x=y^prime em termos de x e y, sendo y=f(x) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
(l) ; e^y=x+y

Passo 1

Vamos ver o que a questão pede: temos uma função diferenciável y=f(x) dada implicitamente por e^y = x + y, e precisamos encontrar y’ = dy/dx em termos de x e y. O conteúdo envolvido aqui é derivação implícita.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de e^y = x + y em relação a x:
ddxl(e^yr) = ddx(x + y)
Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia: ddx(e^y) = e^y cdot dydx. Do lado direito, derivada de x é 1 e de y é dydx. Assim temos:
e^y cdot dydx = 1 + dydx
Agrupando os termos que envolvem dydx:
e^y cdot dydx - dydx = 1
Fatorando dydx:
dydx(e^y - 1) = 1
Por fim, isolamos dydx:
dydx = 1e^y - 1

Resposta

y' = 1e^y - 1

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