Integral de uma série de potências: Encontre a integral da série:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de uma série de potências, mais especificamente:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral e Séries de Potências. Para resolver, vamos precisar entender como integrar série por série e como trabalhar com somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que integrar uma série de potências termo a termo é válido dentro do raio de convergência da série original. Isso significa que podemos integrar cada termo individualmente e depois somar os resultados, desde que a série convirja.
Passo 3
Vamos olhar a série que queremos integrar:
Essa série pode parecer complicada, mas vamos simplificar. Note que
pode ser interpretado como a derivada de
em relação a
, já que:
Passo 4
Agora, integrando a série termo a termo:
Cada integral individualmente fica:
Então, a soma se transforma em:
Passo 5
Essa nova série é uma série geométrica que sabemos como somar. A soma de uma série geométrica
é
para
. No nosso caso, a série começa em
, então:
Resposta
Portanto, a integral da série dada é:
onde
é a constante de integração.