Integral de uma série de potências: Encontre a integral da série:
integral(sumn=1^infty n x^n-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de uma série de potências, mais especificamente:
integral(sumn=1^infty n x^n-1) d x
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral e Séries de Potências. Para resolver, vamos precisar entender como integrar série por série e como trabalhar com somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma série de potências termo a termo é válido dentro do raio de convergência da série original. Isso significa que podemos integrar cada termo individualmente e depois somar os resultados, desde que a série convirja.

Passo 3

Vamos olhar a série que queremos integrar:
sumn=1^infty n x^n-1
Essa série pode parecer complicada, mas vamos simplificar. Note que ddx x^n = n x^n-1 pode ser interpretado como a derivada de em relação a , já que:

Passo 4

Agora, integrando a série termo a termo:
integral sumn=1^infty n x^n-1 dx = sumn=1^infty integral n x^n-1 dx
Cada integral individualmente fica:
integral n x^n-1 dx = n cdot x^nn = x^n
Então, a soma se transforma em:
sumn=1^infty x^n

Passo 5

Essa nova série é uma série geométrica que sabemos como somar. A soma de uma série geométrica sumn=1^infty x^n = 11 - x - 1 = x1 - x é para . No nosso caso, a série começa em , então:

Resposta

Portanto, a integral da série dada é:
x1 - x + C
onde é a constante de integração.

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