Um determinacio remédio é injetado no sangue de um animal, sendo absorvido pelos seus tecidos. Sabe-se que a concentração do remédio no sangue do animal t minutos após a injeçāo è
unidades
.
a) Qual a diminuiçāo média da concentraçāo do remédio no sangue entre
min e
min?
b) A qual taxa a concentraçāo no sangue estava diminuindo quando
?
a) Qual a diminuiçāo média da concentraçāo do remédio no sangue entre
b) A qual taxa a concentraçāo no sangue estava diminuindo quando
Passo 1
O enunciado dá a concentração do remédio no sangue em função do tempo
(em minutos):
As perguntas são:
a) Qual a diminuição média da concentração entre min e
min?
b) A que taxa a concentração estava diminuindo quando min?
a) Qual a diminuição média da concentração entre
b) A que taxa a concentração estava diminuindo quando
Passo 2
Entender exatamente o que pediram (matematicamente).
- A “diminuição média” entre
e é a variação média (taxa média de variação) dada pela fórmula da razão incremental (declive da secante):
Aqui
e
. Essa fórmula dá a mudança média por unidade de tempo; se o valor for negativo significa diminuição.
Passo 3
Calcular
. Substitui
na expressão:
Fazendo a divisão, nota-se que
, portanto
Passo 4
Calcular
. Substitui
:
Fazendo a divisão,
, então
Passo 5
Calcular a taxa média entre
e
usando os valores encontrados:
Convertendo para decimal,
Interpretação: o sinal negativo indica que a concentração está diminuindo; em módulo a concentração diminuiu, em média,
unidades por
a cada minuto.
Passo 6
Agora a taxa instantânea no tempo
é dada pela derivada
. Explico como derivar passo a passo:
Escreve-se como potência:
Escreve-se
Usa-se a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
. Aplicando,
Reescrevendo em forma de fração:
Esta expressão dá a taxa instantânea de variação de
em cada tempo
; novamente, sinal negativo indica queda.
Passo 7
Avaliar
em
:
Como
, obtemos
Portanto a taxa instantânea de variação em
é
(unidade por
por minuto). Interpretação: no instante
a concentração estava diminuindo a uma taxa de
unidade por
a cada minuto.
Passo 8
Pequeno incentivo: bom trabalho acompanhando as contas passo a passo — essas fórmulas de taxa média e derivada são exatamente as que costuma cair na prova; pratique mais alguns exemplos do tipo para ganhar segurança!
Resposta
a)
b)
b)