Um determinacio remédio é injetado no sangue de um animal, sendo absorvido pelos seus tecidos. Sabe-se que a concentração do remédio no sangue do animal t minutos após a injeçāo è C(t)=2000 /\left(t^{2}+100\right) unidades / \mathrm{ml}.
a) Qual a diminuiçāo média da concentraçāo do remédio no sangue entre t=5 min e t=20 min?
b) A qual taxa a concentraçāo no sangue estava diminuindo quando t=10 \mathrm{~min} ?

Passo 1

O enunciado dá a concentração do remédio no sangue em função do tempo t (em minutos):
C(t)=\frac{2000}{t^{2}+100}\quad\text{(unidades}/\text{ml)}.
As perguntas são:
a) Qual a diminuição média da concentração entre t=5 min e t=20 min?
b) A que taxa a concentração estava diminuindo quando t=10 min?

Passo 2

Entender exatamente o que pediram (matematicamente).
  • A “diminuição média” entre t=a e t=b é a variação média (taxa média de variação) dada pela fórmula da razão incremental (declive da secante):
\text{taxa média}=\frac{C(b)-C(a)}{b-a}.é
Aqui a=5 e b=20. Essa fórmula dá a mudança média por unidade de tempo; se o valor for negativo significa diminuição.

Passo 3

Calcular C(5). Substitui t=5 na expressão:
C(5)=\frac{2000}{5^{2}+100}=\frac{2000}{25+100}=\frac{2000}{125}.
Fazendo a divisão, nota-se que 125\cdot16=2000, portanto
C(5)=16\quad\text{(unidades}/\text{ml)}.

Passo 4

Calcular C(20). Substitui t=20:
C(20)=\frac{2000}{20^{2}+100}=\frac{2000}{400+100}=\frac{2000}{500}.
Fazendo a divisão, 2000/500=4, então
C(20)=4\quad\text{(unidades}/\text{ml)}.

Passo 5

Calcular a taxa média entre t=5 e t=20 usando os valores encontrados:
\text{taxa média}=\frac{C(20)-C(5)}{20-5}=\frac{4-16}{15}=\frac{-12}{15}=-\frac{4}{5}.é
Convertendo para decimal,
-\frac{4}{5}=-0,8.
Interpretação: o sinal negativo indica que a concentração está diminuindo; em módulo a concentração diminuiu, em média, 0,8 unidades por \text{ml} a cada minuto.

Passo 6

Agora a taxa instantânea no tempo t é dada pela derivada C'(t). Explico como derivar passo a passo:
Escreve-se C(t) como potência:
C(t)=2000\,(t^{2}+100)^{-1}.
Usa-se a regra da cadeia: se h(t)=k\cdot g(t)^{-1} então h'(t)=k\cdot(-1)g(t)^{-2}\cdot g'(t). Aqui g(t)=t^{2}+100 e g'(t)=2t. Aplicando,
C'(t)=2000\cdot(-1)\,(t^{2}+100)^{-2}\cdot(2t)=-4000\,t\,(t^{2}+100)^{-2}.
Reescrevendo em forma de fração:
C'(t)=-\frac{4000\,t}{(t^{2}+100)^{2}}.
Esta expressão dá a taxa instantânea de variação de C em cada tempo t; novamente, sinal negativo indica queda.

Passo 7

Avaliar C'(t) em t=10:
C'(10)=-\frac{4000\cdot 10}{(10^{2}+100)^{2}}=-\frac{40000}{(100+100)^{2}}=-\frac{40000}{200^{2}}.
Como 200^{2}=40000, obtemos
C'(10)=-\frac{40000}{40000}=-1.
Portanto a taxa instantânea de variação em t=10 é -1 (unidade por \text{ml} por minuto). Interpretação: no instante t=10 a concentração estava diminuindo a uma taxa de 1 unidade por \text{ml} a cada minuto.

Passo 8

Pequeno incentivo: bom trabalho acompanhando as contas passo a passo — essas fórmulas de taxa média e derivada são exatamente as que costuma cair na prova; pratique mais alguns exemplos do tipo para ganhar segurança!

Resposta

a) -0,8\\ \text{unidades}/(\text{ml}\cdot\text{min})
b) -1\\ \text{unidade}/(\text{ml}\cdot\text{min})

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