Numa reaçāo quimica um composto é formado, de modo que
segundos após o início da reaçāo a quantidade existente deste composto é
.
Com que velocidade o composto estava sendo formado quando
e
?
Com que velocidade o composto estava sendo formado quando
Passo 1
O enunciado dá a quantidade do composto em função do tempo:
onde
está em segundos. A pergunta é: com que velocidade (isto é, a que taxa, em
) o composto estava sendo formado nos instantes
,
e
?
Passo 2
Velocidade de formação significa a taxa de variação instantânea de
em relação a
, isto é, o derivado
. Para calcular derivadas de uma razão de funções usaremos a regra do quociente. A fórmula da regra do quociente é:
onde
é o numerador e
o denominador da função que estamos diferenciando. Aqui identificamos:
Passo 3
Calcular
e
. A derivada de
é
, portanto:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto a expressão simplificada para a taxa é
Isto é a fórmula geral que vamos usar para avaliar nos instantes pedidos.
Passo 4
Avaliar em
. Substituindo
em
:
Passo 5
Avaliar em
. Substituindo
:
Passo 6
Avaliar em
. Substituindo
:
Passo 7
Interpretação curta e motivadora: as taxas são todas positivas (o composto continua a ser formado), mas diminuem bastante ao longo do tempo (de
para
para
), o que indica que a formação é rápida no começo e depois desacelera — detalhe que pode ser útil na prova para discutir comportamento temporal.