Numa reaçāo quimica um composto é formado, de modo que t segundos após o início da reaçāo a quantidade existente deste composto é M(t)=500 t^{2} /\left(1+t^{2}\right) \mathrm{mg}.
Com que velocidade o composto estava sendo formado quando t=1 \mathrm{~s}, t=3 \mathrm{~s} e t=7 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a quantidade do composto em função do tempo:
M(t)=\frac{500\,t^{2}}{1+t^{2}}\\ \text{mg},
onde t está em segundos. A pergunta é: com que velocidade (isto é, a que taxa, em \mathrm{mg/s}) o composto estava sendo formado nos instantes t=1\\ \mathrm{s}, t=3\\ \mathrm{s} e t=7\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Velocidade de formação significa a taxa de variação instantânea de M em relação a t, isto é, o derivado M'(t)=\dfrac{dM}{dt}. Para calcular derivadas de uma razão de funções usaremos a regra do quociente. A fórmula da regra do quociente é:
\frac{d}{dt}\left(\frac{u(t)}{v(t)}\right)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{\big(v(t)\big)^{2}},
onde u(t) é o numerador e v(t) o denominador da função que estamos diferenciando. Aqui identificamos:
u(t)=500\,t^{2},\qquad v(t)=1+t^{2}.

Passo 3

Calcular u'(t) e v'(t). A derivada de t^{2} é 2t, portanto:
u'(t)=500\cdot 2t=1000\,t, \qquad v'(t)=2t.
Agora aplicamos a regra do quociente:
M'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{(v(t))^{2}} =\frac{(1000\,t)(1+t^{2})-(500\,t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^{2}}.
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
(1000\,t)(1+t^{2})=1000\,t+1000\,t^{3}, \qquad (500\,t^{2})(2t)=1000\,t^{3}.
Subtraindo:
1000\,t+1000\,t^{3}-1000\,t^{3}=1000\,t.
Portanto a expressão simplificada para a taxa é
M'(t)=\frac{1000\,t}{(1+t^{2})^{2}}\\ \mathrm{mg/s}.
Isto é a fórmula geral que vamos usar para avaliar nos instantes pedidos.

Passo 4

Avaliar em t=1\\ \mathrm{s}. Substituindo t=1 em \dfrac{1000\,t}{(1+t^{2})^{2}}:
M'(1)=\frac{1000\cdot 1}{(1+1^{2})^{2}}=\frac{1000}{(1+1)^{2}}=\frac{1000}{2^{2}}=\frac{1000}{4}=250\\ \mathrm{mg/s}.

Passo 5

Avaliar em t=3\\ \mathrm{s}. Substituindo t=3:
M'(3)=\frac{1000\cdot 3}{(1+3^{2})^{2}}=\frac{3000}{(1+9)^{2}}=\frac{3000}{10^{2}}=\frac{3000}{100}=30\\ \mathrm{mg/s}.

Passo 6

Avaliar em t=7\\ \mathrm{s}. Substituindo t=7:
M'(7)=\frac{1000\cdot 7}{(1+7^{2})^{2}}=\frac{7000}{(1+49)^{2}}=\frac{7000}{50^{2}}=\frac{7000}{2500}=\frac{14}{5}\\ \mathrm{mg/s}=2,8\\ \mathrm{mg/s}.

Passo 7

Interpretação curta e motivadora: as taxas são todas positivas (o composto continua a ser formado), mas diminuem bastante ao longo do tempo (de 250 para 30 para 2,8\\ \mathrm{mg/s}), o que indica que a formação é rápida no começo e depois desacelera — detalhe que pode ser útil na prova para discutir comportamento temporal.

Resposta

t=1\\ \mathrm{s}: 250\\ \mathrm{mg/s}
t=3\\ \mathrm{s}: 30\\ \mathrm{mg/s}
t=7\\ \mathrm{s}: \dfrac{14}{5}\\ \mathrm{mg/s}

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