Numa reaçāo quimica um composto é formado, de modo que t segundos após o início da reaçāo a quantidade existente deste composto é M(t)=500 t^{2} /\left(1+t^{2}\right) \mathrm{mg}.
Em média, com que rapidez cresceu a quantidade deste composto entre t=3 s e t=7 s ?

Passo 1

O enunciado dá a quantidade do composto em função do tempo: M(t)=\frac{500\,t^{2}}{1+t^{2}}\\ \text{mg},
onde t está em segundos. A pergunta é: “Em média, com que rapidez cresceu a quantidade deste composto entre t=3\\ \text{s} e t=7\\ \text{s}?”
Informações relevantes:
  • Função: \displaystyle M(t)=\frac{500\,t^{2}}{1+t^{2}} (unidade: mg).
  • Intervalo de tempo: de t=3\\ \text{s} até t=7\\ \text{s}.
  • Queremos a rapidez média de crescimento (ou seja, a taxa média de variação) nesse intervalo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): a rapidez média de variação de uma quantidade M(t) entre t=a e t=b é a variação da quantidade dividida pelo tempo decorrido, isto é a inclinação da reta secante entre os pontos (a,M(a)) e (b,M(b)). A fórmula é
\text{rapidez média}=\frac{M(b)-M(a)}{b-a}.é
Aqui M(b)-M(a) tem unidades de mg e b-a tem unidades de s, então a rapidez média terá unidades de \mathrm{mg/s}. Vamos aplicar esta fórmula com a=3 e b=7.

Passo 3

Calcular M(3) substituindo t=3 na função. Fazer passo a passo:
M(3)=\frac{500\cdot 3^{2}}{1+3^{2}}=\frac{500\cdot 9}{1+9}=\frac{4500}{10}=450\\ \text{mg}.
Explicando: 3^{2}=9, 500\cdot9=4500, e 1+9=10; daí a divisão dá 450.

Passo 4

Calcular M(7) substituindo t=7:
M(7)=\frac{500\cdot 7^{2}}{1+7^{2}}=\frac{500\cdot 49}{1+49}=\frac{24500}{50}=490\\ \text{mg}.
Explicando: 7^{2}=49, 500\cdot49=24500, 1+49=50, e 24500/50=490.

Passo 5

Aplicar a fórmula da rapidez média com os valores obtidos:
\text{rapidez média}=\frac{M(7)-M(3)}{7-3}=\frac{490-450}{4}=\frac{40}{4}=10\\ \mathrm{mg/s}.é
Aqui a diferença de quantidade foi 40\\ \text{mg} em 4\\ \text{s}, portanto 10\\ \mathrm{mg/s}.

Passo 6

Interpretação e dica de prova: a rapidez média de 10\\ \mathrm{mg/s} significa que, em média, a cada segundo entre t=3 s e t=7 s a quantidade do composto aumentou 10 mg. Dica prática: em provas, calcule M(a) e M(b) com substituição direta e simplify as frações (aqui deu cancelamento exato), depois divida pela diferença de tempo — é rápido e seguro.

Resposta

\,10\\ \mathrm{mg/s}

Exercícios relacionados