Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos o teste do limite da comparação para verificar se a série
converge ou diverge.\n
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
é o termo geral da série, definido para
.\n
Pergunta clara: aplicar o teste do limite da comparação e concluir se a série converge ou diverge.
Pergunta clara: aplicar o teste do limite da comparação e concluir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Intuição antes de calcular: quando
é muito grande,
domina o termo constante
, então
se comporta ~
. Assim esperamos que
se comporte como
É bom escolher
assim porque as séries do tipo
(as chamadas p-séries) têm comportamento conhecido: convergem se
e divergem se
. Aqui
, então a série
diverge. Mas precisamos fazer isso formalmente com o teste do limite da comparação.
Passo 3
Vou explicar o teste do limite da comparação de forma simples e prática: sejam
e
. Se o limite
existe e é um número finito com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergam.\n
Aqui e
são termos positivos para
, então podemos aplicar o teste.
Aqui
Passo 4
Escolhemos
Calculemos o limite
. Substituindo,
Agora analisamos o limite quando
. Podemos escrever
Como
quando
, segue que
Portanto o limite
do teste da comparação é
, que é finito e positivo.
Passo 5
Pelo teste do limite da comparação, como
, as séries
e
têm o mesmo comportamento.\n
Já observamos que é uma p-série com
. A p-série
diverge quando
. Uma justificativa rápida (para fixar): usar o teste da integral,
Já observamos que
logo a série
diverge. Portanto
diverge.\n
Como diverge e o teste do limite da comparação deu
(positivo e finito), concluímos que
também diverge.
Como
Passo 6
Resumo didático (pra você levar pra prova): escolha um
cujo comportamento assintótico é igual ao de
(aqui
). Calcule o limite
. Se der um número positivo finito, as séries têm o mesmo destino. Aqui deu
, e como a p-série com
diverge, a série dada diverge.\n
Força aí — essa técnica é ótima pra séries que têm constantes somadas a potências de .
Força aí — essa técnica é ótima pra séries que têm constantes somadas a potências de
Resposta
A série diverge.