Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+9}

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o teste do limite da comparação para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+9}
converge ou diverge.\n
Informações dadas importantes:
a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+9}
é o termo geral da série, definido para n\ge 1.\n
Pergunta clara: aplicar o teste do limite da comparação e concluir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Intuição antes de calcular: quando n é muito grande, \sqrt{n} domina o termo constante 9, então \sqrt{n}+9 se comporta ~ \sqrt{n}. Assim esperamos que a_n se comporte como
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=n^{-1/2}.
É bom escolher b_n assim porque as séries do tipo \sum n^{-p} (as chamadas p-séries) têm comportamento conhecido: convergem se p>1 e divergem se p\le 1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, então a série \sum b_n=\sum n^{-1/2} diverge. Mas precisamos fazer isso formalmente com o teste do limite da comparação.

Passo 3

Vou explicar o teste do limite da comparação de forma simples e prática: sejam a_n\ge 0 e b_n>0. Se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e é um número finito com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergam.\n
Aqui a_n e b_n são termos positivos para n\ge1, então podemos aplicar o teste.

Passo 4

Escolhemos
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Calculemos o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}. Substituindo,
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{n}+9}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+9}.
Agora analisamos o limite quando n\to\infty. Podemos escrever
\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+9}=\frac{1}{1+\dfrac{9}{\sqrt{n}}}.
Como \dfrac{9}{\sqrt{n}}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+9}= \frac{1}{1+0}=1.
Portanto o limite L do teste da comparação é L=1, que é finito e positivo.

Passo 5

Pelo teste do limite da comparação, como L=1\in(0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.\n
Já observamos que \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/2} é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}. A p-série \sum n^{-p} diverge quando p\le 1. Uma justificativa rápida (para fixar): usar o teste da integral,
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_{1}^{\infty} = \infty,
logo a série \sum n^{-1/2} diverge. Portanto \sum b_n diverge.\n
Como \sum b_n diverge e o teste do limite da comparação deu L=1 (positivo e finito), concluímos que \sum a_n também diverge.

Passo 6

Resumo didático (pra você levar pra prova): escolha um b_n cujo comportamento assintótico é igual ao de a_n (aqui b_n=1/\sqrt{n}). Calcule o limite \lim a_n/b_n. Se der um número positivo finito, as séries têm o mesmo destino. Aqui deu 1, e como a p-série com p=\tfrac12 diverge, a série dada diverge.\n
Força aí — essa técnica é ótima pra séries que têm constantes somadas a potências de n.

Resposta

A série diverge.

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