Em uma determinada cidade os números de telefone possuem 7 dígitos. O prefixo telefônico de uma universidade desta cidade é 452 (os três primeiros dígitos dos telefones pertencentes à universidade sempre serão 452).
Quantos números telefônicos, com os 4 dígitos após o prefixo diferentes, poderiam haver na universidade? Qual a probabilidade de, obtido um número ao acaso, este apresentar a característica descrita na pergunta anterior?
Quantos números telefônicos, com os 4 dígitos após o prefixo diferentes, poderiam haver na universidade? Qual a probabilidade de, obtido um número ao acaso, este apresentar a característica descrita na pergunta anterior?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
– Contexto: números de telefone têm 7 dígitos.
– Prefixo da universidade: sempre 452 nos três primeiros dígitos.
– Pergunta 1: quantos números da universidade têm os 4 dígitos finais todos diferentes?
– Pergunta 2: qual a probabilidade de, pegando um número aleatório (de todos os 7 dígitos possíveis na cidade), ele ser um desses da universidade com todos os 4 últimos dígitos diferentes?
– Contexto: números de telefone têm 7 dígitos.
– Prefixo da universidade: sempre 452 nos três primeiros dígitos.
– Pergunta 1: quantos números da universidade têm os 4 dígitos finais todos diferentes?
– Pergunta 2: qual a probabilidade de, pegando um número aleatório (de todos os 7 dígitos possíveis na cidade), ele ser um desses da universidade com todos os 4 últimos dígitos diferentes?
Conteúdo que vamos usar:
• Técnicas de contagem (permutação simples) para contar quantas sequências de 4 dígitos distintos existem.
• Noções básicas de probabilidade: razão entre casos favoráveis e casos totais.
• Técnicas de contagem (permutação simples) para contar quantas sequências de 4 dígitos distintos existem.
• Noções básicas de probabilidade: razão entre casos favoráveis e casos totais.
Passo 2
Vamos primeiro achar quantos jeitos diferentes de escolher e ordenar 4 dígitos sem repetição há.
Teoria usada: permutação simples de elementos tomados
a
é
Teoria usada: permutação simples de
Aqui
(dígitos de 0 a 9) e
. Então
Isso significa que, depois do prefixo 452, conseguimos 5040 números diferentes com 4 dígitos todos distintos.
Passo 3
Agora a probabilidade.
– Espaco amostral (todos os números de 7 dígitos possíveis na cidade): .
– Casos favoráveis: são exatamente os 5040 números da universidade com 4 últimos dígitos distintos.
– Espaco amostral (todos os números de 7 dígitos possíveis na cidade):
– Casos favoráveis: são exatamente os 5040 números da universidade com 4 últimos dígitos distintos.
Então
Resposta
- Existem
números da universidade com os 4 dígitos finais todos diferentes. - A probabilidade de um número aleatório de 7 dígitos ter essa característica é