Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se A é inversível e A^{-1}=A^{t}.
(a) Dê uma definição equivalente à definição no enunciado.
(b) Se A, B \in \mathbb{M}_{n} são ortogonais, o produto A B é ortogonal? Justifique!
(c) Mostre que a seguinte matriz é ortogonal
\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\operatorname{sen} \theta & 0 \\ \operatorname{sen} \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a definição: uma matriz quadrada A é ortogonal se A é inversível e A^{-1}=A^{t}. Pede-se:
(a) uma definição equivalente à dada no enunciado;
(b) verificar se o produto A B de duas matrizes ortogonais A,B\in\mathbb{M}_n é ortogonal, com justificativa;
(c) mostrar que a matriz
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta & 0\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é ortogonal.
Informações relevantes dadas: a relação A^{-1}=A^{t} e a matriz explícita R(\theta) com os elementos trigonométricos indicados.]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • A identidade I_n é a matriz quadrada que satisfaz I_n X = X I_n = X para qualquer matriz X compatível.
  • A inversa A^{-1} de uma matriz A é a matriz que satisfaz A^{-1}A = AA^{-1} = I_n. A inversa, quando existe, é única.
  • A transposta A^{t} é a matriz obtida trocando linhas por colunas: (A^{t})_{ij}=A_{ji}.
  • Produto e transposta: (AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
  • Inversa do produto: se A e B são inversíveis então (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
  • Produto de matrizes em termos de componentes: o elemento (i,j) de A^{t}A é
(A^{t}A)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ki}A_{kj},
que é o produto interno (produto escalar) entre a coluna i e a coluna j de A. Isso liga matrizes ortogonais a colunas ortonormais.
Vou usar essas identidades ao longo da resolução; sempre que eu aplicar uma delas eu explico por que vale.

Passo 3

Prova da equivalência pedida em (a).
Queremos uma definição equivalente a “ A é inversível e A^{-1}=A^{t}”. Mostrarei que isso é equivalente a
A^{t}A=I_n,
e também (equivalentemente) a
AA^{t}=I_n,
e que isso significa que as colunas de A formam um conjunto ortonormal.
  1. Se A^{-1}=A^{t} então multiplicando à direita por A obtemos
A^{t}A = A^{-1}A = I_n.
Isso mostra que a condição do enunciado implica A^{t}A=I_n.
  1. Recíproco: suponha A^{t}A=I_n. Então A^{t}A=I_n implica que existe uma matriz (a própria A^t) que ao multiplicar A I_n. Pela unicidade da inversa, isso mostra que A é inversível e que A^{-1}=A^{t}. Explicitamente: a definição de inversa exige uma matriz B tal que BA=I_n e AB=I_n. Aqui já temos A^{t}A=I_n, então A^{t} é um candidato a inversa à esquerda; fazendo transposta da igualdade A^{t}A=I_n obtemos (A^{t}A)^{t}=I_n^{t}, mas (A^{t}A)^{t}=A^{t t}A^{t}=AA^{t}, logo AA^{t}=I_n. Assim A^{t} é inversa tanto à esquerda quanto à direita, portanto é a inversa de A: A^{-1}=A^{t}.
  2. Interpretação em termos de colunas: como expliquei no passo anterior,
(A^{t}A)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ki}A_{kj}=\langle a_i,a_j\rangle,
onde a_i é a coluna i de A e \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^n. Se A^{t}A=I_n então (A^{t}A)_{ij}=0 para i\neq j e (A^{t}A)_{ii}=1. Isso significa que as colunas de A são mutuamente ortogonais e de norma 1, ou seja, as colunas formam um conjunto ortonormal. Portanto uma definição equivalente é: “ A é ortogonal se suas colunas (ou linhas) formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^n”, i.e., A^{t}A=I_n (ou AA^{t}=I_n).
Resumo da equivalência: as afirmações “ A é inversível e A^{-1}=A^{t}”, “ A^{t}A=I_n”, “ AA^{t}=I_n”, e “as colunas (ou linhas) de A são ortonormais” são todas equivalentes.

Passo 4

Resposta e justificativa para (b): produto de ortogonais.
Se A e B são ortogonais então A^{-1}=A^{t} e B^{-1}=B^{t}. Queremos ver se AB é ortogonal, ou seja, se (AB)^{-1}=(AB)^{t}.
Usamos duas identidades já citadas:
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
e
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Como A^{-1}=A^{t} e B^{-1}=B^{t}, substituindo obtemos
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^{t}A^{t}=(AB)^{t}.
Isso mostra que AB é inversível e sua inversa é a sua transposta, logo AB é ortogonal. Alternativamente, podemos verificar que
(AB)^{t}(AB)=B^{t}A^{t}AB=B^{t}I_n B=B^{t}B=I_n,
pois A^{t}A=I_n e B^{t}B=I_n. Assim (AB)^{t}(AB)=I_n e concluímos que AB é ortogonal. Portanto o conjunto de matrizes ortogonais é fechado sob produto.

Passo 5

Mostrando que a matriz R(\theta) do item (c) é ortogonal.
Escrevo R(\theta) novamente:
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta & 0\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculo a transposta R(\theta)^{t}:
R(\theta)^{t}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \operatorname{sen}\theta & 0\\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculo o produto R(\theta)^{t}R(\theta). Vou fazer o produto explicando linha por coluna, usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1.
  • Elemento (1,1):
\cos\theta\cdot\cos\theta + \operatorname{sen}\theta\cdot\operatorname{sen}\theta = \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta = 1.
  • Elemento (1,2):
\cos\theta\cdot(-\operatorname{sen}\theta) + \operatorname{sen}\theta\cdot\cos\theta = -\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta + \operatorname{sen}\theta\,\cos\theta = 0.
  • Elemento (1,3):
\cos\theta\cdot 0 + \operatorname{sen}\theta\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Elemento (2,1):
(-\operatorname{sen}\theta)\cdot\cos\theta + \cos\theta\cdot\operatorname{sen}\theta = -\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta + \cos\theta\,\operatorname{sen}\theta = 0.
  • Elemento (2,2):
(-\operatorname{sen}\theta)(-\operatorname{sen}\theta) + \cos\theta\cdot\cos\theta = \operatorname{sen}^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1.
  • Elemento (2,3):
(-\operatorname{sen}\theta)\cdot 0 + \cos\theta\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Elemento (3,1), (3,2), (3,3): a terceira linha de R(\theta)^{t} é (0,0,1) e a terceira coluna de R(\theta) é (0,0,1)^{t}, logo os produtos dão 0,0,1 respectivamente.
Juntando todos os elementos obtemos
R(\theta)^{t}R(\theta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3.
Portanto R(\theta)^{t}R(\theta)=I_3, o que, pela equivalência mostrada no Passo 3, implica que R(\theta) é ortogonal (ou seja, R(\theta)^{-1}=R(\theta)^{t}).]

Resposta

(a) Uma definição equivalente é A^{t}A=I_n. Equivalentemente, as colunas (ou as linhas) de A formam um conjunto ortonormal.
(b) Sim. Se A e B são ortogonais então (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^{t}A^{t}=(AB)^{t}, logo AB é ortogonal.
(c) A matriz
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta & 0\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
satisfaz R(\theta)^{t}R(\theta)=I_3 (usando \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1), logo é ortogonal.]

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