Numa determinada fábrica existem 3 máquinas. A máquina A produz 30 % dos artigos, a máquina B produz 25 % dos artigos e a máquina C os restantes. A probabilidade de um artigo produzido pela máquina A ser defeituoso é 0.01 , pela B é 0.012 e pela C é 0.02 .
Se um artigo escolhido ao acaso for defeituoso, qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina A ?

Passo 1

Beleza, aqui o que rolou no enunciado: temos três máquinas (A, B e C) que produzem certos artigos. A produz 30 % do total, B 25 % e C o resto. Cada máquina tem uma chance de produzir um item defeituoso:
  • P(defeito|A) = 0,01
  • P(defeito|B) = 0,012
  • P(defeito|C) = 0,02
A pergunta é: dado que um item é defeituoso, qual a chance de ele ter vindo da máquina A?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar das probabilidades prévias (P(A), P(B), P©) e das condicionais (P(defeito|máquina)), além de usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as probabilidades iniciais:
.
Como a soma das três máquinas é 100 %, temos
.

Passo 3

Agora precisamos da probabilidade total de um artigo ser defeituoso, P(D) = P(A),P(D|A) + P(B),P(D|B) + P(C),P(D|C) . Pela Regra da Probabilidade Total:
P(D) = 0.30 times 0.01 + 0.25 times 0.012 + 0.45 times 0.02 = 0.003 + 0.003 + 0.009 = 0.015
Substituindo valores:

Passo 4

Chegou a hora do Teorema de Bayes, que diz:
P(A|D) ;=; P(D|A),P(A)P(D)
Basta colocar os números:
P(A|D) = 0.01 times 0.300.015 = 0.0030.015 = 0.20

Resposta

A probabilidade de um artigo defeituoso ter saído da máquina A é de .

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