Determine e compare a impedância intrínseca \eta, a constante de atenuação \alpha(\mathrm{em} \mathrm{Np} / \mathrm{me} \mathrm{dB} / \mathrm{m}) e a profundidade pelicular \delta do cobre \left[\sigma_{\mathrm{Cu}}=58,0 \mathrm{MS} / \mathrm{m}\right] e do latão \left[\sigma_{\text {latão }}=15,9 \mathrm{MS} / \mathrm{m}\right]ã nas seguintes frequências:
1 GHz .

Passo 1

O enunciado pede, para a frequência 1\\ \mathrm{GHz}, que eu determine e compare para o cobre e para o latão:
  • a impedância intrínseca \eta,
  • a constante de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m} e em \mathrm{dB/m}),
  • a profundidade de penetração (ou pelicular) \delta.
Dados fornecidos (vou usá‑los exatamente como vieram):
\sigma_{\text{Cu}} = 58{,}0\\ \mathrm{MS/m} = 58\times10^{6}\\ \mathrm{S/m},
\sigma_{\text{latão}} = 15{,}9\\ \mathrm{MS/m} = 15{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{S/m},ã
frequência
f = 1{,}0\\ \mathrm{GHz} = 1\times 10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Não há outras condições explícitas (assumo meios não magnéticos \mu_r=1). A resolução começa agora.

Passo 2

Constantes e checagem da aproximação “bom condutor” (muito importante antes de aplicar fórmulas simplificadas).
Defino as constantes do vácuo:
\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad \varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\omega = 2\pi f = 2\pi\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
Para saber se podemos usar a aproximação de “bom condutor” (onde \sigma \gg \omega\varepsilon), calculemos
\omega\varepsilon_0 = 2\pi\cdot 10^{9}\cdot 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{S/m}\approx 5{,}565\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m}.
Comparando com os \sigma:
\frac{\sigma_{\text{Cu}}}{\omega\varepsilon_0}\approx \frac{58\times10^{6}}{0{,}05565}\approx 1{,}04\times10^{9}\gg 1,
\frac{\sigma_{\text{latão}}}{\omega\varepsilon_0}\approx \frac{15{,}9\times10^{6}}{0{,}05565}\approx 2{,}86\times10^{8}\gg 1.ã
Portanto a aproximação de bom condutor é válida para ambas as ligas à 1\\ \mathrm{GHz}. Vou usar as fórmulas simplificadas apropriadas.

Passo 3

Fórmulas-chave (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Propagação no condutor: a constante de propagação complexa é \gamma=\alpha + j\beta. Para bom condutor vale a aproximação
\gamma \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Aqui \omega é a pulsação, \mu é a permeabilidade ( \mu=\mu_0 pois \mu_r=1), \sigma é a condutividade. Da expressão acima vem que
\alpha = \beta \approx \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
É comum escrever \alpha em função de f usando \omega=2\pi f; então
\alpha \approx \sqrt{\pi f \mu \sigma}.
  • Profundidade de penetração (skin depth) \delta é a distância em que o campo cai para 1/e. Para bom condutor:
\delta = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}} = \frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}.
  • Impedância intrínseca dentro do condutor: a expressão geral é
\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}}.
Para bom condutor \sigma\gg\omega\varepsilon a aproximação é
\eta \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
Isto significa que \eta é complexa com parte real igual à parte imaginária e magnitude
|\eta| = \sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}}.
Vou usar essas fórmulas e calcular numericamente.

Passo 4

Calculemos primeiro alguns valores numéricos úteis com boa precisão:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 10^{9}\\ \mathrm{rad/s}\approx 6{,}2831853\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s},
\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
Também é útil o produto \omega\mu_0:
\omega\mu_0 \approx 6{,}2831853\times10^{9}\times 1{,}25663706\times10^{-6}\approx 7{,}8956835\times10^{3}.
Vou usar esses valores nas fórmulas.

Passo 5

Cálculos para o cobre ( \sigma_{\text{Cu}}=58\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}) — atenção: faço as contas com detalhamento para você poder reproduzir na prova.
  1. Constante de atenuação \alpha:
\alpha_{\text{Cu}} \approx \sqrt{\pi f \mu_0 \sigma_{\text{Cu}}}.
Calculei internamente:
\pi f \mu_0 \sigma_{\text{Cu}} \approx \pi\cdot 10^{9}\cdot (1{,}25663706\times10^{-6})\cdot (58\times10^{6}) \approx 2{,}29031\times10^{11}.
Tomando raiz:
\alpha_{\text{Cu}} \approx \sqrt{2{,}29031\times10^{11}}\approx 4{,}78583\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}.
  1. Converter \alpha para \mathrm{dB/m}: fator de conversão 1\\ \mathrm{Np}=8{,}686\\ \mathrm{dB}:
\alpha_{\text{Cu,dB/m}} = \alpha_{\text{Cu}}\times 8{,}686 \approx 4{,}78583\times10^{5}\times 8{,}686\approx 4{,}15708\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}.
  1. Profundidade pelicular \delta:
\delta_{\text{Cu}} = \frac{1}{\alpha_{\text{Cu}}}\approx \frac{1}{4{,}78583\times10^{5}}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}089\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2{,}089\\ \mu\mathrm{m}.
  1. Impedância intrínseca \eta no cobre:
  • magnitude
|\eta_{\text{Cu}}| \approx \sqrt{\frac{\omega\mu_0}{\sigma_{\text{Cu}}}} = \sqrt{\frac{7{,}8956835\times10^{3}}{58\times10^{6}}} \approx 1{,}1667\times10^{-2}\\ \Omega.
  • forma complexa (aproximação de bom condutor):
\eta_{\text{Cu}} \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{2\sigma_{\text{Cu}}}}
onde
\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{2\sigma_{\text{Cu}}}}=\frac{|\eta_{\text{Cu}}|}{\sqrt{2}}\approx \frac{0{,}011667}{1{,}41421356}\approx 8{,}252\times10^{-3}\\ \Omega.
Portanto
\eta_{\text{Cu}}\approx (0{,}008252 + j\,0{,}008252)\\ \Omega,
com magnitude |\eta_{\text{Cu}}|\approx 0{,}011667\\ \Omega e fase \approx 45^\circ.

Passo 6

Cálculos para o latão ( \sigma_{\text{latão}}=15{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}ã) — mesma sequência.
  1. Constante de atenuação \alpha:
\alpha_{\text{latão}}\approx \sqrt{\pi f \mu_0 \sigma_{\text{latão}}}.ãã
Numérico:
\pi f \mu_0 \sigma_{\text{latão}} \approx \pi\cdot 10^{9}\cdot 1{,}25663706\times10^{-6}\cdot 15{,}9\times10^{6} \approx 6{,}27910\times10^{10}.ã
Raiz:
\alpha_{\text{latão}} \approx \sqrt{6{,}27910\times10^{10}}\approx 2{,}50580\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}.ã
  1. Converter para \mathrm{dB/m}:
\alpha_{\text{latão,dB/m}} = \alpha_{\text{latão}}\times 8{,}686 \approx 2{,}50580\times10^{5}\times 8{,}686\approx 2{,}17701\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}.ãã
  1. Profundidade pelicular \delta:
\delta_{\text{latão}} = \frac{1}{\alpha_{\text{latão}}}\approx \frac{1}{2{,}50580\times10^{5}}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}991\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=3{,}991\\ \mu\mathrm{m}.ãã
  1. Impedância intrínseca \eta no latão:
  • magnitude
|\eta_{\text{latão}}| \approx \sqrt{\frac{\omega\mu_0}{\sigma_{\text{latão}}}} = \sqrt{\frac{7{,}8956835\times10^{3}}{15{,}9\times10^{6}}} \approx 2{,}2307\times10^{-2}\\ \Omega.ãã
  • forma complexa:
\eta_{\text{latão}} \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{2\sigma_{\text{latão}}}},ãã
onde
\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{2\sigma_{\text{latão}}}}=\frac{|\eta_{\text{latão}}|}{\sqrt{2}}\approx \frac{0{,}022307}{1{,}41421356}\approx 1{,}5785\times10^{-2}\\ \Omega.ãã
Portanto
\eta_{\text{latão}}\approx (0{,}015785 + j\,0{,}015785)\\ \Omega,ã
com magnitude |\eta_{\text{latão}}|\approx 0{,}022307\\ \Omegaã e fase \approx 45^\circ.

Passo 7

Comparação rápida e interpretação física (pra te animar: o que isso significa na prática):
  • \alpha maior significa maior decaimento dos campos dentro do metal — campos penetram menos. O cobre, por ter maior condutividade, tem \alpha maior que o latão: \alpha_{\text{Cu}}\approx 4{,}79\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m} > \alpha_{\text{latão}}\approx 2{,}51\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}ã. Consequência: \delta_{\text{Cu}} é menor que \delta_{\text{latão}}ã.
  • Valores numéricos mostram películas muito finas à 1\\ \mathrm{GHz}: \delta_{\text{Cu}}\approx 2{,}09\\ \mu\mathrm{m} e \delta_{\text{latão}}\approx 3{,}99\\ \mu\mathrm{m}ã. Essa é a razão pela qual, em RF, superfícies metálicas conduzem em uma camada micrométrica.
  • A impedância intrínseca no interior do condutor é muito baixa (ordem de 10^{-2}\\ \Omega) e com ângulo de 45^\circ (parte real igual à imag.). Para o latão |\eta| é maior que para o cobre porque menor condutividade implica maior impedância.

Resposta

Cobre ( \sigma_{\text{Cu}}=58{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}, f=1\\ \mathrm{GHz}):
\eta_{\text{Cu}}\approx (0{,}008252 + j\,0{,}008252)\\ \Omega \;(|\eta_{\text{Cu}}|\approx 0{,}011667\\ \Omega)\newline
\alpha_{\text{Cu}}\approx 4{,}7858\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}\approx 4{,}1571\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}\newline
\delta_{\text{Cu}}\approx 2{,}089\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2{,}089\\ \mu\mathrm{m}
Latão ( \sigma_{\text{latão}}=15{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}ã, f=1\\ \mathrm{GHz}):
\eta_{\text{latão}}\approx (0{,}015785 + j\,0{,}015785)\\ \Omegaã \;(|\eta_{\text{latão}}|\approx 0{,}022307\\ \Omega)ã\newline
\alpha_{\text{latão}}\approx 2{,}5058\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}\approx 2{,}1770\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}ã\newline
\delta_{\text{latão}}\approx 3{,}991\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=3{,}991\\ \mu\mathrm{m}ã

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