Determine e compare a impedância intrínseca
, a constante de atenuação
e a profundidade pelicular
do cobre
e do latão
nas seguintes frequências:
1 GHz .
1 GHz .
Passo 1
O enunciado pede, para a frequência
, que eu determine e compare para o cobre e para o latão:
- a impedância intrínseca
, - a constante de atenuação
(em e em ), - a profundidade de penetração (ou pelicular)
.
Dados fornecidos (vou usá‑los exatamente como vieram):
frequência
Não há outras condições explícitas (assumo meios não magnéticos
). A resolução começa agora.
Passo 2
Constantes e checagem da aproximação “bom condutor” (muito importante antes de aplicar fórmulas simplificadas).
Defino as constantes do vácuo:
Defino as constantes do vácuo:
Para saber se podemos usar a aproximação de “bom condutor” (onde
), calculemos
Comparando com os
:
Portanto a aproximação de bom condutor é válida para ambas as ligas à
. Vou usar as fórmulas simplificadas apropriadas.
Passo 3
Fórmulas-chave (vou explicar o que cada símbolo significa):
- Propagação no condutor: a constante de propagação complexa é
. Para bom condutor vale a aproximação
Aqui
é a pulsação,
é a permeabilidade (
pois
),
é a condutividade. Da expressão acima vem que
É comum escrever
em função de
usando
; então
- Profundidade de penetração (skin depth)
é a distância em que o campo cai para . Para bom condutor:
- Impedância intrínseca dentro do condutor: a expressão geral é
Para bom condutor
a aproximação é
Isto significa que
é complexa com parte real igual à parte imaginária e magnitude
Vou usar essas fórmulas e calcular numericamente.
Passo 4
Calculemos primeiro alguns valores numéricos úteis com boa precisão:
Também é útil o produto
:
Vou usar esses valores nas fórmulas.
Passo 5
Cálculos para o cobre (
) — atenção: faço as contas com detalhamento para você poder reproduzir na prova.
- Constante de atenuação
:
Calculei internamente:
Tomando raiz:
- Converter
para : fator de conversão :
- Profundidade pelicular
:
- Impedância intrínseca
no cobre:
- magnitude
- forma complexa (aproximação de bom condutor):
onde
Portanto
com magnitude
e fase
.
Passo 6
Cálculos para o latão (
) — mesma sequência.
- Constante de atenuação
:
Numérico:
Raiz:
- Converter para
:
- Profundidade pelicular
:
- Impedância intrínseca
no latão:
- magnitude
- forma complexa:
onde
Portanto
com magnitude
e fase
.
Passo 7
Comparação rápida e interpretação física (pra te animar: o que isso significa na prática):
-
maior significa maior decaimento dos campos dentro do metal — campos penetram menos. O cobre, por ter maior condutividade, tem maior que o latão: . Consequência: é menor que . - Valores numéricos mostram películas muito finas à
: e . Essa é a razão pela qual, em RF, superfícies metálicas conduzem em uma camada micrométrica. - A impedância intrínseca no interior do condutor é muito baixa (ordem de
) e com ângulo de (parte real igual à imag.). Para o latão é maior que para o cobre porque menor condutividade implica maior impedância.
Resposta
Cobre (
,
):
\newline
\newline
Latão (
,
):
\newline
\newline