Em uma determinada hora de um dia ensolarado, a sombra de uma casa se projeta por 23 metros. Esta sobra faz 45^{\circ} em relação ao solo. Desta forma, determine a altura da casa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • A sombra da casa tem comprimento \,23\\ \text{m}.
  • A sombra forma um ângulo de \,45^\circ em relação ao solo.
O que o problema pede:
  • Determinar a altura da casa (em metros).

Passo 2

Modelagem geométrica e definições: quando o Sol projeta a sombra de uma casa, podemos representar a situação por um triângulo retângulo:
  • a altura da casa é o cateto oposto ao ângulo de elevação do Sol; vou chamar essa altura de \,h.
  • o comprimento da sombra é o cateto adjacente ao ângulo; aqui é \,23\\ \text{m}.
  • o raio de Sol que forma a sombra é a hipotenusa do triângulo.
Colocando isso em símbolos:
  • cateto oposto =\;h,
  • cateto adjacente =\;23,
  • ângulo no solo =\;45^\circ.

Passo 3

Apresentando a relação trigonométrica que vamos usar: em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Em símbolos:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui \theta=45^\circ, cateto oposto =h e cateto adjacente =23. Portanto:
\tan(45^\circ)=\frac{h}{23}.

Passo 4

Valor de \tan(45^\circ): para o ângulo \,45^\circ temos que os dois catetos de um triângulo retângulo isósceles são iguais, logo a tangente é 1. Também pode-se ver que \tan(45^\circ)=\dfrac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1. Assim:
\tan(45^\circ)=1.

Passo 5

Resolver a equação para h: substituindo \tan(45^\circ)=1 em \tan(45^\circ)=\dfrac{h}{23} obtemos
1=\frac{h}{23}.
Multiplicando ambos os lados por 23:
h=23\cdot 1.

Passo 6

Conclusão numérica e unidades:
h=23\\ \text{m}.
Ou seja, a altura da casa é igual ao comprimento da sombra porque o ângulo de elevação era \,45^\circ.

Resposta

23\\ \text{m}

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