Em uma determinada hora de um dia ensolarado, a sombra de uma casa se projeta por 23 metros. Esta sobra faz
em relação ao solo. Desta forma, determine a altura da casa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
- A sombra da casa tem comprimento
. - A sombra forma um ângulo de
em relação ao solo.
O que o problema pede:
- Determinar a altura da casa (em metros).
Passo 2
Modelagem geométrica e definições: quando o Sol projeta a sombra de uma casa, podemos representar a situação por um triângulo retângulo:
- a altura da casa é o cateto oposto ao ângulo de elevação do Sol; vou chamar essa altura de
. - o comprimento da sombra é o cateto adjacente ao ângulo; aqui é
. - o raio de Sol que forma a sombra é a hipotenusa do triângulo.
Colocando isso em símbolos:
- cateto oposto
, - cateto adjacente
, - ângulo no solo
.
Passo 3
Apresentando a relação trigonométrica que vamos usar: em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Em símbolos:
Aqui
, cateto oposto
e cateto adjacente
. Portanto:
Passo 4
Valor de
: para o ângulo
temos que os dois catetos de um triângulo retângulo isósceles são iguais, logo a tangente é
. Também pode-se ver que
. Assim:
Passo 5
Resolver a equação para
: substituindo
em
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Conclusão numérica e unidades:
Ou seja, a altura da casa é igual ao comprimento da sombra porque o ângulo de elevação era
.