Em uma determinada localidade, apenas 25 \% das pessoas estão vacinadas contra o sarampo. A secretaria de saúde local selecionar’a um grupo de 6 pessoas aleatoriamente para preencher um cadastro. Determine:
a) A probabilidade de nenhuma delas ter sido vacinada contra o sarampo;

Passo 1

O enunciado diz que, numa localidade, 25\% das pessoas estão vacinadas contra o sarampo. A secretaria seleciona aleatoriamente um grupo de 6 pessoas para preencher um cadastro. A pergunta (parte a) é: qual é a probabilidade de nenhuma das 6 pessoas ter sido vacinada?
Informações relevantes fornecidas:
  • Probabilidade de uma pessoa, escolhida aleatoriamente, estar vacinada: p=25\%=0,25.
  • Tamanho da amostra (número de pessoas selecionadas): n=6.
  • Evento de interesse: zero pessoas vacinadas entre as 6.

Passo 2

Como modelar o problema (explicação didática e escolha do método).
  • Cada pessoa selecionada pode ser vista como um ensaio com dois resultados possíveis: “vacinada” (sucesso) ou “não vacinada” (falha). Para cada pessoa, a probabilidade de sucesso é p=0,25 e de falha é 1-p=0,75.
  • Se assumirmos que a população é grande o suficiente ou que a seleção é com reposição implícita, esses 6 ensaios podem ser tratados como independentes com mesma probabilidade de sucesso. Nessa situação usamos a distribuição binomial, que é o modelo padrão para “n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso”.
  • Observação: se a seleção fosse sem reposição de uma população pequena, precisaríamos do modelo hipergeométrico. Aqui vamos usar binomial porque é o modelo esperado neste tipo de questão (e normalmente a população é bem maior que 6).

Passo 3

Apresentando a fórmula da distribuição binomial e explicando cada termo.
A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicação dos símbolos:
  • n é o número total de ensaios (aqui n=6).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=0).
  • p é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui p=0,25).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, o número de maneiras diferentes de escolher quais k ensaios entre n serão os sucessos. Por exemplo, \binom{6}{0} é o número de maneiras de escolher zero sucessos entre seis, que vale 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso ( k=0).
Substituindo n=6, k=0 e p=0,25 temos
P(X=0)=\binom{6}{0}\,(0,25)^{0}\,(0,75)^{6}.
Agora avaliamos cada fator:
  • \binom{6}{0}=1 porque há exatamente uma maneira de escolher zero elementos.
  • (0,25)^{0}=1 por definição de potência zero.
    Portanto
P(X=0)=(0,75)^{6}.

Passo 5

Calculando (0,75)^{6} de forma exata como fração e em decimal.
Escrevendo 0,75 como fração temos 0,75=\dfrac{3}{4}. Então
(0,75)^{6}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6}=\dfrac{3^{6}}{4^{6}}=\dfrac{729}{4096}.
Agora a aproximação decimal:
\dfrac{729}{4096}\approx 0,1779785\ldots
Arredondando de forma prática para três casas decimais fica 0,178, ou seja aproximadamente 17,8\%.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova.
  • A probabilidade de que nenhuma das 6 pessoas esteja vacinada é \dfrac{729}{4096}, cerca de 0,178 (ou 17,8\%).
  • Dica rápida para questões similares: se pedirem “nenhum” ou “todos” é comum que a expressão simplifique para uma só potência como aqui; para "exatamente k" use sempre \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.

Resposta

\dfrac{729}{4096}\approx0,17798

Exercícios relacionados