Em uma determinada localidade, apenas
das pessoas estão vacinadas contra o sarampo. A secretaria de saúde local selecionar’a um grupo de 6 pessoas aleatoriamente para preencher um cadastro. Determine:
a) A probabilidade de nenhuma delas ter sido vacinada contra o sarampo;
a) A probabilidade de nenhuma delas ter sido vacinada contra o sarampo;
Passo 1
O enunciado diz que, numa localidade,
das pessoas estão vacinadas contra o sarampo. A secretaria seleciona aleatoriamente um grupo de
pessoas para preencher um cadastro. A pergunta (parte a) é: qual é a probabilidade de nenhuma das
pessoas ter sido vacinada?
Informações relevantes fornecidas:
- Probabilidade de uma pessoa, escolhida aleatoriamente, estar vacinada:
. - Tamanho da amostra (número de pessoas selecionadas):
. - Evento de interesse: zero pessoas vacinadas entre as
.
Passo 2
Como modelar o problema (explicação didática e escolha do método).
- Cada pessoa selecionada pode ser vista como um ensaio com dois resultados possíveis: “vacinada” (sucesso) ou “não vacinada” (falha). Para cada pessoa, a probabilidade de sucesso é
e de falha é . - Se assumirmos que a população é grande o suficiente ou que a seleção é com reposição implícita, esses
ensaios podem ser tratados como independentes com mesma probabilidade de sucesso. Nessa situação usamos a distribuição binomial, que é o modelo padrão para “n ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso”. - Observação: se a seleção fosse sem reposição de uma população pequena, precisaríamos do modelo hipergeométrico. Aqui vamos usar binomial porque é o modelo esperado neste tipo de questão (e normalmente a população é bem maior que
).
Passo 3
Apresentando a fórmula da distribuição binomial e explicando cada termo.
A probabilidade de obter exatamente sucessos em
ensaios independentes com probabilidade
de sucesso em cada ensaio é dada por
A probabilidade de obter exatamente
Explicação dos símbolos:
-
é o número total de ensaios (aqui ). -
é o número de sucessos que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui ). -
é o coeficiente binomial, o número de maneiras diferentes de escolher quais ensaios entre serão os sucessos. Por exemplo, é o número de maneiras de escolher zero sucessos entre seis, que vale .
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso (
).
Substituindo ,
e
temos
Substituindo
Agora avaliamos cada fator:
-
porque há exatamente uma maneira de escolher zero elementos. -
por definição de potência zero.
Portanto
Passo 5
Calculando
de forma exata como fração e em decimal.
Escrevendo como fração temos
. Então
Escrevendo
Agora a aproximação decimal:
Arredondando de forma prática para três casas decimais fica
, ou seja aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova.
- A probabilidade de que nenhuma das
pessoas esteja vacinada é , cerca de (ou ). - Dica rápida para questões similares: se pedirem “nenhum” ou “todos” é comum que a expressão simplifique para uma só potência como aqui; para "exatamente
" use sempre .