Questão 3- A venda de certo produto pode ser vista como uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade f_{X}(x) e estimada por:
\mathrm{X}= venda de produtos 1 2 3 4 5
\mathrm{fx}(\mathrm{x}) 0,16 0,22 \mathrm{p}^{2} 0,22 -p
a) (Valor 1,0 pt) Determine o valor de p para que f_{X}(x) seja uma fdp; \mathbf{R} : \mathbf{p = - 0 , 3 0 6}
b) (Valor 0,5 pts) Calcule \operatorname{Pr}(2<X \leq 5); \mathbf{R} : aproximadamente \mathbf{0 , 6 2}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição da venda X com possíveis valores 1,2,3,4,5 e as respectivas probabilidades na tabela:
\begin{array}{c|ccccc} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline f_X(x) & 0,16 & 0,22 & p^{2} & 0,22 & -p \end{array}
As perguntas são:
a) Determinar o valor de p para que f_X(x) seja uma função de massa de probabilidade válida.
b) Calcular \Pr(2<X\leq5).

Passo 2

Regras que uma função de massa de probabilidade discreta deve satisfazer (vamos aprender isso passo a passo):
  1. Todas as probabilidades devem ser não negativas: para cada valor x, f_X(x)\ge 0. Aqui isso implica, em particular, que -p\ge 0 (pois é a probabilidade associada a X=5).
  2. A soma das probabilidades de todos os pontos deve ser 1:
\sum_{x} f_X(x)=1.
Essas são as duas condições que vamos usar.

Passo 3

Escrevendo a condição da soma das probabilidades com os valores do enunciado:
0,16+0,22+p^{2}+0,22- p = 1.
Somando os números dados:
0,16+0,22+0,22=0,60,
logo a equação vira
p^{2}-p+0,60=1.
Subtraindo 1 dos dois lados obtemos a equação quadrática
p^{2}-p-0,40=0.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática p^{2}-p-0,40=0 usamos a fórmula de Bhaskara (a fórmula geral para raízes de ap^{2}+bp+c=0 é p=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}). Aqui a=1, b=-1, c=-0,40. Aplicando:
p=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-0,40)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1+1,6}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{2,6}}{2}.
Calculando a raiz aproximada \sqrt{2,6}\approx1,612, obtemos as duas raízes aproximadas:
p_{1}\approx\frac{1+1,612}{2}\approx1,306
e
p_{2}\approx\frac{1-1,612}{2}\approx-0,306.

Passo 5

Agora aplicamos a condição de não negatividade: a probabilidade associada a X=5 é -p, que deve ser \ge 0. Isso exige p\le 0. Das duas raízes, apenas p_{2}\approx-0,306 satisfaz p\le0. Portanto escolhemos
p\approx-0,306.
(Verificação rápida: p^{2} é sempre não negativo, então não há problema com a probabilidade do X=3.)

Passo 6

Agora calculamos \Pr(2<X\le 5). Por definição de probabilidade discreta,
\Pr(2<X\le 5)=\Pr(X=3)+\Pr(X=4)+\Pr(X=5)=p^{2}+0,22- p.
Repare um truque muito útil: da equação do Passo 3 tínhamos p^{2}-p-0,40=0, isto é,
p^{2}-p=0,40.
Assim
p^{2}-p+0,22 = 0,40+0,22 = 0,62.
Portanto \Pr(2<X\le 5)=0,62. Esse é um jeito elegante de evitar cálculo numérico direto e garante exatidão.

Resposta

p\approx -0,306
\Pr(2<X\le 5)=0,62

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