Questão 3- A venda de certo produto pode ser vista como uma variável aleatória
cuja função de distribuição de probabilidade
e estimada por:
venda de produtos
1
2
3
4
5
0,16
0,22
0,22
-p
a) (Valor 1,0 pt) Determine o valor de
para que
seja uma fdp;
:
b) (Valor 0,5 pts) Calcule
;
: aproximadamente
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
0,16 | 0,22 |
|
0,22 | -p |
b) (Valor 0,5 pts) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a distribuição da venda
com possíveis valores
e as respectivas probabilidades na tabela:
As perguntas são:
a) Determinar o valor de para que
seja uma função de massa de probabilidade válida.
b) Calcular .
a) Determinar o valor de
b) Calcular
Passo 2
Regras que uma função de massa de probabilidade discreta deve satisfazer (vamos aprender isso passo a passo):
- Todas as probabilidades devem ser não negativas: para cada valor
, . Aqui isso implica, em particular, que (pois é a probabilidade associada a ). - A soma das probabilidades de todos os pontos deve ser
:
Essas são as duas condições que vamos usar.
Passo 3
Escrevendo a condição da soma das probabilidades com os valores do enunciado:
Somando os números dados:
logo a equação vira
Subtraindo
dos dois lados obtemos a equação quadrática
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara (a fórmula geral para raízes de
é
). Aqui
,
,
. Aplicando:
Calculando a raiz aproximada
, obtemos as duas raízes aproximadas:
e
Passo 5
Agora aplicamos a condição de não negatividade: a probabilidade associada a
é
, que deve ser
. Isso exige
. Das duas raízes, apenas
satisfaz
. Portanto escolhemos
(Verificação rápida:
é sempre não negativo, então não há problema com a probabilidade do
.)
Passo 6
Agora calculamos
. Por definição de probabilidade discreta,
Repare um truque muito útil: da equação do Passo 3 tínhamos
, isto é,
Assim
Portanto
. Esse é um jeito elegante de evitar cálculo numérico direto e garante exatidão.