Em uma determinada localidade, apenas 25 \% das pessoas estão vacinadas contra o sarampo. A secretaria de saúde local selecionar’a um grupo de 6 pessoas aleatoriamente para preencher um cadastro. Determine:
b) A probabilidade de no máximo duas delas terem sido vacinadas contra o sarampo;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: foi escolhida aleatoriamente um grupo de 6 pessoas; apenas 25\% da população está vacinada. Pergunta (b): qual é a probabilidade de que, nesse grupo de 6, no máximo duas pessoas tenham sido vacinadas contra o sarampo?
Informações relevantes extraídas do enunciado: n=6 (tamanho da amostra), probabilidade individual de “vacinado” p=25\%= \tfrac{1}{4}. O evento de interesse é X, número de vacinados no grupo; queremos P(X\le 2).

Passo 2

Modelo probabilístico que vamos usar (explicação didática): quando temos um número fixo n de tentativas independentes e cada tentativa tem só dois resultados (sucesso = vacinado, fracasso = não vacinado) com mesma probabilidade p de sucesso, a variável X que conta o número de sucessos segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas foram sucessos, p^{k} é a probabilidade dos k sucessos ocorrerem e (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos outros n-k serem fracassos. Aqui cada escolha é independente, por isso multiplicamos as probabilidades.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: n=6 e p=\tfrac{1}{4}. A probabilidade pedida é
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{6}{k}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{6-k}.
Vou calcular cada termo separadamente, explicando cada passo aritmético.

Passo 4

Cálculo de P(X=0): aqui k=0, \binom{6}{0}=1 e temos apenas (\tfrac{3}{4})^{6}. Calculamos as potências:
3^{6}=729,\qquad 4^{6}=4096,
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P(X=0)=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{6}=\tfrac{729}{4096}.

Passo 5

Cálculo de P(X=1): aqui \binom{6}{1}=6. Temos
P(X=1)=6\left(\tfrac{1}{4}\right)\left(\tfrac{3}{4}\right)^{5}.
Calcule (\tfrac{3}{4})^{5}=\tfrac{3^{5}}{4^{5}}=\tfrac{243}{1024}. Multiplicando:
6\cdot \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{243}{1024}=6\cdot \tfrac{243}{4096}=\tfrac{1458}{4096}.

Passo 6

Cálculo de P(X=2): aqui \binom{6}{2}=\dfrac{6\cdot5}{2}=15. Temos
P(X=2)=15\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{4}.
Calcule (\tfrac{1}{4})^{2}=\tfrac{1}{16} e (\tfrac{3}{4})^{4}=\tfrac{3^{4}}{4^{4}}=\tfrac{81}{256}. Então
15\cdot \tfrac{1}{16}\cdot \tfrac{81}{256}=15\cdot \tfrac{81}{4096}=\tfrac{1215}{4096}.

Passo 7

Somando os três termos para obter P(X\le 2):
P(X\le 2)=\tfrac{729}{4096}+\tfrac{1458}{4096}+\tfrac{1215}{4096}=\tfrac{729+1458+1215}{4096}=\tfrac{3402}{4096}.
Simplificando por 2:
\tfrac{3402}{4096}=\tfrac{1701}{2048}.
Como decimal (aproximação):
\tfrac{1701}{2048}\approx 0,83056640625.
Interpretação curta: isso significa que, com p=\tfrac{1}{4} e n=6, há cerca de 83{,}06\% de chance de que no máximo duas pessoas do grupo estejam vacinadas.

Resposta

\displaystyle \frac{1701}{2048}\approx 0,83056640625

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