Em uma determinada localidade, apenas
das pessoas estão vacinadas contra o sarampo. A secretaria de saúde local selecionar’a um grupo de 6 pessoas aleatoriamente para preencher um cadastro. Determine:
b) A probabilidade de no máximo duas delas terem sido vacinadas contra o sarampo;
b) A probabilidade de no máximo duas delas terem sido vacinadas contra o sarampo;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: foi escolhida aleatoriamente um grupo de 6 pessoas; apenas
da população está vacinada. Pergunta (b): qual é a probabilidade de que, nesse grupo de 6, no máximo duas pessoas tenham sido vacinadas contra o sarampo?
Informações relevantes extraídas do enunciado: (tamanho da amostra), probabilidade individual de “vacinado”
. O evento de interesse é
, número de vacinados no grupo; queremos
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Modelo probabilístico que vamos usar (explicação didática): quando temos um número fixo
de tentativas independentes e cada tentativa tem só dois resultados (sucesso = vacinado, fracasso = não vacinado) com mesma probabilidade
de sucesso, a variável
que conta o número de sucessos segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
tentativas foram sucessos,
é a probabilidade dos
sucessos ocorrerem e
é a probabilidade dos outros
serem fracassos. Aqui cada escolha é independente, por isso multiplicamos as probabilidades.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
e
. A probabilidade pedida é
Vou calcular cada termo separadamente, explicando cada passo aritmético.
Passo 4
Cálculo de
: aqui
,
e temos apenas
. Calculamos as potências:
logo
Passo 5
Cálculo de
: aqui
. Temos
Calcule
. Multiplicando:
Passo 6
Cálculo de
: aqui
. Temos
Calcule
e
. Então
Passo 7
Somando os três termos para obter
:
Simplificando por
:
Como decimal (aproximação):
Interpretação curta: isso significa que, com
e
, há cerca de
de chance de que no máximo duas pessoas do grupo estejam vacinadas.