O saldo médio dos clientes de um banco é uma v.a. normal com média 3400,00 u.m e variança 67600,0011 \mathrm{~m}. Os clientes com os 5 \% maiores saldos médios recebem tratamento VIP, enquanto aqueles com os 10 \% menores saldos médios receberāo propaganda extra para estimular maior movimentaçāo da conta.
(a) Quanto um cliente precisa de saldo médio para se tornar um VIP?
(b) Abaixo de qual saldo médio o cliente receberá a propaganda extra?

Passo 1

O enunciado diz que o saldo médio X dos clientes segue uma distribuição normal com
\mu = 3400{,}00,\quad \sigma^2 = 67600{,}0011,
logo \sigma = \sqrt{67600{,}0011}\approx260.
Queremos dois limiares: um x_{\text{VIP}} tal que P(X>x_{\text{VIP}})=0,05 e outro x_{\text{prop}} tal que P(X<x_{\text{prop}})=0,10. Para isso usamos quantis da normal padrão.

Passo 2

Para VIP, P(X>x_{\text{VIP}})=0{,}05 implica P(X\le x_{\text{VIP}})=0{,}95. Se Z\sim N(0,1) e z_{0,95} é tal que P(Z\le z_{0,95})=0{,}95, temos
x_{\text{VIP}} = \mu + z_{0,95}\,\sigma.

Passo 3

O valor crítico da normal padrão é aproximadamente
z_{0,95}\approx 1{,}645.
Substituindo,
x_{\text{VIP}} =3400 + 1{,}645\times260 \approx3400 + 427{,}7 \approx3827{,}7.

Passo 4

Para propaganda extra, P(X<x_{\text{prop}})=0{,}10. Seja z_{0,10} tal que P(Z\le z_{0,10})=0{,}10. Então
x_{\text{prop}} = \mu + z_{0,10}\,\sigma.

Passo 5

O quantil é
z_{0,10}\approx -1{,}2816,
logo
x_{\text{prop}} =3400 + (-1{,}2816)\times260 \approx3400 - 333{,}2 \approx3066{,}8.

Resposta

(a) Para ser VIP, o cliente precisa ter saldo médio acima de aproximadamente 3827{,}7 u.m.
(b) Para receber propaganda extra, o saldo médio deve ficar abaixo de aproximadamente 3066{,}8 u.m.

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