Uma determinada organização observando seu banco de dados concluiu que a média mensal de faturamento nos últimos anos foi de
60.500,00
\mathrm{R} $10.250,00
mensais, partindo do pressuposto que a alegação do profissional esteja correta? Justifique sua resposta.
R.: Aproximadamente
dos exercícios mensais. Justificativa: por ser a área maior ao limite inferior de 2 desvios padrão da média e a distribuição ser simétrica, ou seja, segundo a regra empírica temos
dos dados a dois desvios padrão da média.
b) Aproximadamente, qual a porcentagem de exercícios mensais futuros provavelmente apresentarão faturamento superior a
40.000,00$ mensais, partindo do pressuposto que a alegação do profissional esteja equivocada? Justifique sua resposta.
R.: Pelo menos
dos exercícios mensais. Justificativa: por ser a área maior ao limite inferior de 2 desvios padrão da média e a distribuição não ser simétrica, ou seja, segundo a regra de Chebyshev temos ao menos
dos dados a dois desvios padrão da média.
c) Aproximadamente, qual a porcentagem de exercícios mensais futuros provavelmente apresentarão faturamento inferior a
40.000,00$ mensais, partindo do pressuposto que a alegação do profissional esteja correta? Justifique sua resposta.
R.: Aproximadamente
dos exercícios mensais. Justificativa: por ser a área inferior ao limite inferior de 2 desvios padrão da média e a distribuição ser simétrica, ou seja, segundo a regra empírica temos
dos dados a dois desvios padrão da média.
d) Suponha que o faturamento em determinado exercício mensal tenha sido inferior a
30.000,00$. Quais as quatro inferências que você pode acerca deste resultado? Justifique sua resposta.
R.: Dada a baixa probabilidade de ocorrência deste valor (inferior a praticamente
), 1) que houve uma quebra estrutural nas vendas; 2) que não havia simetria na distribuição de freqüência dos dados; 3) que a média foi calculada equivocadamente; ou 4) que o desvio padrão foi calculado equivocadamente.
R.: Aproximadamente
b) Aproximadamente, qual a porcentagem de exercícios mensais futuros provavelmente apresentarão faturamento superior a
R.: Pelo menos
c) Aproximadamente, qual a porcentagem de exercícios mensais futuros provavelmente apresentarão faturamento inferior a
R.: Aproximadamente
d) Suponha que o faturamento em determinado exercício mensal tenha sido inferior a
R.: Dada a baixa probabilidade de ocorrência deste valor (inferior a praticamente
Passo 1
O enunciado nos dá a média mensal de faturamento
e o desvio padrão
. Para responder, usamos dois resultados principais:
– Regra empírica (distribuição aproximadamente normal e simétrica): cerca de dos valores caem em
,
em
e
em
.
– Desigualdade de Chebyshev (qualquer distribuição): para , pelo menos
dos dados estão em
.
– Regra empírica (distribuição aproximadamente normal e simétrica): cerca de
– Desigualdade de Chebyshev (qualquer distribuição): para
Passo 2
(a) Queremos
sob hipótese de simetria. Note que
pois
. Pela regra empírica,
dos dados estão entre
e
. Como a distribuição é simétrica, metade dessa área está acima de
e metade abaixo. Mas queremos toda a área acima de
, isto é
Arredondando, obtemos aproximadamente
.
Passo 3
(b) Sem assumir simetria, usamos Chebyshev com
. A desigualdade diz que pelo menos
dos valores estão em
. Logo, independentemente do formato,
Passo 4
(c) Ainda sob simetria,
. Usando o valor de (a),
que podemos arredondar para aproximadamente
pelo uso da regra empírica.
Passo 5
(d) Se num mês o faturamento foi inferior a
, então
equivale a
o que, numa normal simétrica, tem probabilidade
(muito baixa). Diante desse evento raro, podemos inferir que, em vez de tudo ocorrer normalmente e sob as hipóteses iniciais, ocorreu alguma situação atípica. Quatro explicações possíveis são:
- ocorreu uma quebra estrutural nas vendas;
- a distribuição real não é simétrica;
- a média
foi estimada incorretamente; - o desvio padrão
foi estimado incorretamente.
Resposta
a) Aproximadamente
.
b) Pelo menos .
c) Aproximadamente .
d) Possíveis inferências: 1) quebra estrutural nas vendas; 2) distribuição não simétrica; 3) média calculada equivocadamente; 4) desvio padrão calculado equivocadamente.
b) Pelo menos
c) Aproximadamente
d) Possíveis inferências: 1) quebra estrutural nas vendas; 2) distribuição não simétrica; 3) média calculada equivocadamente; 4) desvio padrão calculado equivocadamente.