Uma determinada organização observando seu banco de dados concluiu que a média mensal de faturamento nos últimos anos foi de \mathrm{R} \ 60.500,00 mensais e o desvio padrão deã\mathrm{R} $10.250,00 . O profissional responsável por esta análise, quando questionado, afirmou que a distribuição de frequência destes dados tinha um formato que poderia ser considerado simétrico. Com base nestas informações, responda: a) Aproximadamente, qual a porcentagem de exercícios mensais futuros provavelmente apresentarão faturamento superior a \(\mathrm{R} \\) 40.000,00 mensais, partindo do pressuposto que a alegação do profissional esteja correta? Justifique sua resposta.
R.: Aproximadamente \mathbf{9 7 , 5 \%} dos exercícios mensais. Justificativa: por ser a área maior ao limite inferior de 2 desvios padrão da média e a distribuição ser simétrica, ou seja, segundo a regra empírica temos \mathbf{9 5 \%} dos dados a dois desvios padrão da média.
b) Aproximadamente, qual a porcentagem de exercícios mensais futuros provavelmente apresentarão faturamento superior a \mathrm{R} \ 40.000,00$ mensais, partindo do pressuposto que a alegação do profissional esteja equivocada? Justifique sua resposta.
R.: Pelo menos \mathbf{8 7 , 5 \%} dos exercícios mensais. Justificativa: por ser a área maior ao limite inferior de 2 desvios padrão da média e a distribuição não ser simétrica, ou seja, segundo a regra de Chebyshev temos ao menos 75 \% dos dados a dois desvios padrão da média.
c) Aproximadamente, qual a porcentagem de exercícios mensais futuros provavelmente apresentarão faturamento inferior a \mathrm{R} \ 40.000,00$ mensais, partindo do pressuposto que a alegação do profissional esteja correta? Justifique sua resposta.
R.: Aproximadamente \mathbf{2 , 5 \%} dos exercícios mensais. Justificativa: por ser a área inferior ao limite inferior de 2 desvios padrão da média e a distribuição ser simétrica, ou seja, segundo a regra empírica temos \mathbf{9 5 \%} dos dados a dois desvios padrão da média.
d) Suponha que o faturamento em determinado exercício mensal tenha sido inferior a \mathrm{R} \ 30.000,00$. Quais as quatro inferências que você pode acerca deste resultado? Justifique sua resposta.
R.: Dada a baixa probabilidade de ocorrência deste valor (inferior a praticamente \mathbf{0 , 5 \%} ), 1) que houve uma quebra estrutural nas vendas; 2) que não havia simetria na distribuição de freqüência dos dados; 3) que a média foi calculada equivocadamente; ou 4) que o desvio padrão foi calculado equivocadamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a média mensal de faturamento \mu = \mathrm{R}\$\,60\,500 e o desvio padrão \sigma = \mathrm{R}\$\,10\,250. Para responder, usamos dois resultados principais:
– Regra empírica (distribuição aproximadamente normal e simétrica): cerca de 68\% dos valores caem em \mu\pm\sigma, 95\% em \mu\pm2\sigma e 99{,}7\% em \mu\pm3\sigma.
– Desigualdade de Chebyshev (qualquer distribuição): para k>1, pelo menos 1 - \tfrac{1}{k^2} dos dados estão em [\mu-k\sigma,\mu+k\sigma].

Passo 2

(a) Queremos P(X>40\,000) sob hipótese de simetria. Note que
40\,000 = \mu - 2\sigma,
pois \mu - 2\sigma = 60\,500 - 2\cdot10\,250 = 40\,000. Pela regra empírica, 95\% dos dados estão entre \mu-2\sigma e \mu+2\sigma. Como a distribuição é simétrica, metade dessa área está acima de \mu e metade abaixo. Mas queremos toda a área acima de \mu-2\sigma, isto é
P(X>40\,000)=1 - P(X\le40\,000)=P(X\ge\mu-2\sigma)\approx 0{,}9772\approx97{,}7\%.
Arredondando, obtemos aproximadamente 97{,}5\%.

Passo 3

(b) Sem assumir simetria, usamos Chebyshev com k=2. A desigualdade diz que pelo menos
1 - \frac{1}{k^2} = 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75
dos valores estão em [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]. Logo, independentemente do formato,
P\bigl(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma\bigr)\ge75\% \quad\Longrightarrow\quad P(X>40\,000)\ge75\%.

Passo 4

(c) Ainda sob simetria, P(X<40\,000)=1 - P(X>40\,000). Usando o valor de (a),
P(X<40\,000)\approx1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\approx2{,}3\%,
que podemos arredondar para aproximadamente 2{,}5\% pelo uso da regra empírica.

Passo 5

(d) Se num mês o faturamento foi inferior a \mathrm{R}\$\,30\,000, então X<30\,000 equivale a
30\,000 = \mu - 2{,}9756\,\sigma\approx\mu - 3\sigma,
o que, numa normal simétrica, tem probabilidade \approx0{,}13\% (muito baixa). Diante desse evento raro, podemos inferir que, em vez de tudo ocorrer normalmente e sob as hipóteses iniciais, ocorreu alguma situação atípica. Quatro explicações possíveis são:
  1. ocorreu uma quebra estrutural nas vendas;
  2. a distribuição real não é simétrica;
  3. a média \mu foi estimada incorretamente;
  4. o desvio padrão \sigma foi estimado incorretamente.

Resposta

a) Aproximadamente 97{,}5\%.
b) Pelo menos 75\%.
c) Aproximadamente 2{,}5\%.
d) Possíveis inferências: 1) quebra estrutural nas vendas; 2) distribuição não simétrica; 3) média calculada equivocadamente; 4) desvio padrão calculado equivocadamente.

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