Explique a relação existente entre tamanho mínimo de amostra e tamanho da população, grau de confiança escolhido, variância dos dados e erro tolerado na futura estimava de parâmetros desta amostra.
R.: Tamanho da população: relação direta, porém inversa em termos proporcionais, ou seja, quanto maior a amostra maior a amostra, mas menor proporcionalmente falando; grau de confiança: relação direta, ou seja, quanto maior o grau de confiança escolhido maior será o tamanho da amostra mínima; variância dos dados: relação direta, ou seja, quanto maior a variância dos dados maior será o tamanho mínimo da amostra; erro tolerado: relação inversa, ou seja, quanto maior o erro tolerado na estimativa dos parâmetros menor será o tamanho mínimo da amostra necessária.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos como o tamanho mínimo de amostra varia em função de quatro fatores: tamanho da população, grau de confiança, variância dos dados e erro tolerado. O conteúdo aqui é o cálculo de tamanho de amostra para estimar parâmetros via intervalo de confiança, usando as fórmulas clássicas de amostragem.

Passo 2

Quando a população é muito grande (ou tratada como infinita), o tamanho de amostra preliminar n_0 vem da condição de que o erro máximo admitido E satisfaça
E = Z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n_0}},
onde \sigma^2 é a variância populacional e Z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao grau de confiança 1-\alpha. Isolando n_0, obtemos
n_0 \;=\;\frac{Z_{1-\alpha/2}^2\,\sigma^2}{E^2}.
Dessa fórmula fica claro que n_0 cresce quando Z_{1-\alpha/2} (grau de confiança) aumenta ou quando \sigma^2 (variância) aumenta, e decresce quando E (erro tolerado) aumenta.

Passo 3

Para populações finitas de tamanho N, aplica-se a correção de população finita, levando o tamanho efetivo de amostra a
n \;=\;\frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1}.
Esse ajuste mostra que, à medida que N diminui, o valor de n fica menor do que n_0. Quando N\to\infty, a fração tende a 1 e n\to n_0; quando N é pequeno, n cai significativamente.

Passo 4

Interpretando cada relação:
  • O tamanho da população N tem efeito direto sobre n, mas em termos proporcionais há uma inversão: aumentar N faz n crescer até o limite n_0, porém além de certo ponto não exige muito mais observações.
  • O grau de confiança 1-\alpha entra em n_0 via Z_{1-\alpha/2}: maior confiança exige Z maior, e portanto maior n.
  • A variância \sigma^2 aparece diretamente em n_0: quanto mais dispersos estiverem os dados, maior deve ser n para manter o erro dentro de E.
  • O erro tolerado E está no denominador quadrático de n_0: permitir um erro maior (aumentar E) reduz muito n, enquanto diminuir E (querer mais precisão) faz n crescer rapidamente.

Resposta

O tamanho mínimo de amostra cresce com o grau de confiança e com a variância dos dados, decresce quando se permite um erro maior, e no caso de população finita sofre uma correção que diminui n à medida que N torna-se menor.

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