Em determinada população, a taxa de hemoglobina no sangue tem distribuição normal, com média igual a 16,0 g / 100 mL e desvio padrão de 1,2 g / 100 mL.
Que proporção de indivíduos tem taxa entre 15,8 e 16,7 ?
Que proporção de indivíduos tem taxa entre 15,8 e 16,7 ?
Passo 1
Resumo do enunciado:
Temos a taxa de hemoglobina em uma população que segue uma distribuição normal com média μ = 16,0 g/100 mL e desvio-padrão σ = 1,2 g/100 mL. Queremos saber a proporção de indivíduos cuja taxa está entre 15,8 e 16,7.
Conteúdo envolvido: distribuição normal, transformação em escore-Z, uso da tabela (ou função) da normal padrão.
Temos a taxa de hemoglobina em uma população que segue uma distribuição normal com média μ = 16,0 g/100 mL e desvio-padrão σ = 1,2 g/100 mL. Queremos saber a proporção de indivíduos cuja taxa está entre 15,8 e 16,7.
Conteúdo envolvido: distribuição normal, transformação em escore-Z, uso da tabela (ou função) da normal padrão.
Passo 2
Entendendo a teoria da normal:
Uma variável aleatória X tem distribuição Normal(μ, σ²) se a sua densidade de probabilidade “espalha” simetricamente em torno de μ, com “largura” controlada por σ.
Para calcular probabilidades tipo P(a ≤ X ≤ b), a gente transforma X em uma variável Z que segue a normal padrão N(0,1), usando
Uma variável aleatória X tem distribuição Normal(μ, σ²) se a sua densidade de probabilidade “espalha” simetricamente em torno de μ, com “largura” controlada por σ.
Para calcular probabilidades tipo P(a ≤ X ≤ b), a gente transforma X em uma variável Z que segue a normal padrão N(0,1), usando
Isso facilita porque depois é só olhar em tabela ou usar uma calculadora para a normal padrão.
Passo 3
Transformando os limites em escores-Z:
Para a = 15,8:
Para a = 15,8:
Para b = 16,7:
Passo 4
Consultando a normal padrão:
Seja Φ(z) a função de distribuição da N(0,1), isto é, Φ(z) = P(Z ≤ z).
Então
Seja Φ(z) a função de distribuição da N(0,1), isto é, Φ(z) = P(Z ≤ z).
Então
Na prática, pegamos na tabela ou na calculadora:
Φ(0,583) ≈ 0,7201
Φ(-0,167) = 1 − Φ(0,167) ≈ 1 − 0,5663 = 0,4337
Φ(0,583) ≈ 0,7201
Φ(-0,167) = 1 − Φ(0,167) ≈ 1 − 0,5663 = 0,4337
Passo 5
Calculando a diferença:
Resposta
A proporção de indivíduos com taxa entre 15,8 e 16,7 g/100 mL é aproximadamente 0,2864 (ou 28,64%).