Num julgamento estima-se que a probabilidade de Luís ser culpado é 0,2. São chamadas duas testemunhas. Se Luís realmente for culpado, Alberto dirá certamente que é culpado e Carlos dirá que é culpado com probabilidade 0,6 . Se Luís for inocente, Alberto dirá com probabilidade 0,3 que é inocente e Carlos dirá certamente que é inocente.
Qual a probabilidade de Luís ser inocente se Carlos disse que é inocente?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e que matéria a gente vai usar.
Enunciado em miúdos:
  • A probabilidade inicial (prior) de o Luís ser culpado é P(I mid Carlos diz inocente) , então de ele ser inocente é .
  • Se ele for culpado, o Carlos diz “culpado” com probabilidade 0,6 e, portanto, “inocente” com probabilidade .
  • Se ele for inocente, o Carlos diz “inocente” com probabilidade 1.
    Queremos calcular a probabilidade de ele ser inocente dado que o Carlos disse “inocente”:
Matéria que vamos usar: probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes.
O que precisamos para resolver:
  1. Entender como calcular probabilidades condicionais.
  2. Usar a lei da probabilidade total para achar .
  3. Aplicar o teorema de Bayes para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o evento que interessa:
E = “Carlos diz ‘inocente’”.
Precisamos das seguintes probabilidades condicionais:
  • P(E mid C) = 1 - 0,6 = 0,4, P(E mid I) = 1 , a chance de Carlos dizer “inocente” se Luís for culpado.
  • , a chance de Carlos dizer “inocente” se Luís for inocente.
Do enunciado:

Passo 3

Usamos a lei da probabilidade total para calcular
P(E) = P(E mid C),P(C) + P(E mid I),P(I)
Substituindo os valores:
P(E) = 0,4 times 0,2 + 1 times 0,8 = 0,08 + 0,8 = 0,88

Passo 4

Agora aplicamos o teorema de Bayes:
P(I mid E) = P(E mid I),P(I)P(E)
Substituindo:
P(I mid E) = 1 times 0,80,88 = 0,80,88 approx 0,9091

Resposta

A probabilidade de Luís ser inocente, dado que o Carlos disse “inocente”, é aproximadamente (ou 90,91%).

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