Num julgamento estima-se que a probabilidade de Luís ser culpado é 0,2. São chamadas duas testemunhas. Se Luís realmente for culpado, Alberto dirá certamente que é culpado e Carlos dirá que é culpado com probabilidade 0,6 . Se Luís for inocente, Alberto dirá com probabilidade 0,3 que é inocente e Carlos dirá certamente que é inocente.
Qual a probabilidade de Luís ser inocente se Carlos disse que é inocente?
Qual a probabilidade de Luís ser inocente se Carlos disse que é inocente?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e que matéria a gente vai usar.
Enunciado em miúdos:
Enunciado em miúdos:
- A probabilidade inicial (prior) de o Luís ser culpado é
, então de ele ser inocente é . - Se ele for culpado, o Carlos diz “culpado” com probabilidade 0,6 e, portanto, “inocente” com probabilidade
. - Se ele for inocente, o Carlos diz “inocente” com probabilidade 1.
Queremos calcular a probabilidade de ele ser inocente dado que o Carlos disse “inocente”:
Matéria que vamos usar: probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes.
O que precisamos para resolver:
- Entender como calcular probabilidades condicionais.
- Usar a lei da probabilidade total para achar
. - Aplicar o teorema de Bayes para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o evento que interessa:
E = “Carlos diz ‘inocente’”.
E = “Carlos diz ‘inocente’”.
Precisamos das seguintes probabilidades condicionais:
-
, a chance de Carlos dizer “inocente” se Luís for culpado. -
, a chance de Carlos dizer “inocente” se Luís for inocente.
Do enunciado:
Passo 3
Usamos a lei da probabilidade total para calcular
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora aplicamos o teorema de Bayes:
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de Luís ser inocente, dado que o Carlos disse “inocente”, é aproximadamente
(ou 90,91%).