Uma determinada população tem o seu crescimento descrito pelo seguinte modelo:
sendo que
descreve aproximadamente o tamanho da população no instante de tempo
, medido em meses. Use um recurso computacional para fazer o gráfico dessa função.
(a) Qual o tamanho inicial da população?
(b) A partir desse modelo, o que é esperado que aconteça com esta população num primeiro momento (ou seja, quando t é “pequeno”)?
(c) Calcule o limite
.
(d) Com base no resultado do limite obtido acima, responda: Se não houver nenhuma interferência externa na dinâmica descrita acima, o tamanho desta população vai aumentar indefinidamente ao longo do tempo, ou vai estabilizar em um tamanho específico?
(a) Qual o tamanho inicial da população?
(b) A partir desse modelo, o que é esperado que aconteça com esta população num primeiro momento (ou seja, quando t é “pequeno”)?
(c) Calcule o limite
(d) Com base no resultado do limite obtido acima, responda: Se não houver nenhuma interferência externa na dinâmica descrita acima, o tamanho desta população vai aumentar indefinidamente ao longo do tempo, ou vai estabilizar em um tamanho específico?
Passo 1
O enunciado dá um modelo de crescimento populacional
onde
é o tempo (meses) e
o tamanho da população. Vamos:
- Calcular o tamanho inicial, isto é
. - Analisar o comportamento para
“pequeno” (próximo de zero ou negativo). - Determinar o limite quando
. - Concluir se a população cresce sem parar ou se estabiliza.
Passo 2
Para achar o tamanho inicial basta pôr
:
Passo 3
Quando
é “pequeno” (por exemplo
perto de zero ou valores negativos), temos
de ordem 1 ou menor, então
fica entre 100 e 150 e, conforme
cresce,
aumenta. Em particular, a população inicia em torno de 150 e tende a crescer num ritmo relativamente alto, característico de um modelo logístico na fase inicial de expansão.
Passo 4
Para o limite quando
, note que
domina constantes:
Passo 5
Como
, sem interferências externas a população não cresce indefinidamente, mas estabiliza-se num valor máximo de 200 indivíduos.
Resposta
(a)
.
(b) Para pequeno, a população está em torno de 100–150 e cresce rapidamente (fase inicial de um modelo logístico).
(c) .
(d) Ela não cresce sem parar: estabiliza-se em 200 indivíduos.
(b) Para
(c)
(d) Ela não cresce sem parar: estabiliza-se em 200 indivíduos.