Uma determinada população tem o seu crescimento descrito pelo seguinte modelo:
P(t)=200 e^t+1001+e^t,
sendo que P(t) descreve aproximadamente o tamanho da população no instante de tempo t, medido em meses. Use um recurso computacional para fazer o gráfico dessa função.
(a) Qual o tamanho inicial da população?
(b) A partir desse modelo, o que é esperado que aconteça com esta população num primeiro momento (ou seja, quando t é “pequeno”)?
(c) Calcule o limite lim t +infty P(t).
(d) Com base no resultado do limite obtido acima, responda: Se não houver nenhuma interferência externa na dinâmica descrita acima, o tamanho desta população vai aumentar indefinidamente ao longo do tempo, ou vai estabilizar em um tamanho específico?

Passo 1

O enunciado dá um modelo de crescimento populacional
P(t)=200e^t+1001+e^t,
onde t é o tempo (meses) e P(t) o tamanho da população. Vamos:
  1. Calcular o tamanho inicial, isto é P(0).
  2. Analisar o comportamento para t “pequeno” (próximo de zero ou negativo).
  3. Determinar o limite quando tto+infty.
  4. Concluir se a população cresce sem parar ou se estabiliza.

Passo 2

Para achar o tamanho inicial basta pôr t=0:
P(0)=200e^0+1001+e^0 =200cdot1+1001+1 =3002 =150

Passo 3

Quando t é “pequeno” (por exemplo t perto de zero ou valores negativos), temos e^t de ordem 1 ou menor, então P(t) fica entre 100 e 150 e, conforme t cresce, P(t) aumenta. Em particular, a população inicia em torno de 150 e tende a crescer num ritmo relativamente alto, característico de um modelo logístico na fase inicial de expansão.

Passo 4

Para o limite quando tto+infty, note que e^t domina constantes:
limtto+inftyP(t) =limtto+infty200e^t+1001+e^t =limtto+inftye^t(200+100e^-t)e^t(1+e^-t) =200+01+0 =200

Passo 5

Como limtto+inftyP(t)=200, sem interferências externas a população não cresce indefinidamente, mas estabiliza-se num valor máximo de 200 indivíduos.

Resposta

(a) 150.
(b) Para t pequeno, a população está em torno de 100–150 e cresce rapidamente (fase inicial de um modelo logístico).
(c) limtto+inftyP(t)=200.
(d) Ela não cresce sem parar: estabiliza-se em 200 indivíduos.

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