Questão 1. (40 pontos) Calcule as derivadas:
(10 pontos) f(x)=raiz1+2^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=raiz1+2^2x
Aqui o conteúdo principal é a regra da cadeia para derivar uma função composta e a derivada da exponencial de base 2.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a raiz como potência:
f(x)=(1+2^2x)^tfrac12
Dessa forma fica claro que temos uma função externa
g(u)=u^tfrac12
e uma função interna
h(x)=1+2^2x

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x):
  1. Derivada da parte externa g(u)=u^tfrac12:
g'(u)=tfrac12,u^-tfrac12
  1. Derivada da parte interna h(x)=1+2^2x: para isso usamos que
l(2^2xr)'=2^2xln(2)cdot(2x)'=2^2xcdot2ln(2)
Logo,
h'(x)=0+2^2xcdot2ln(2)=2^2x,2ln(2)

Passo 4

Agora substituímos em f'(x)=g'(h(x)),h'(x):
f'(x) =12,(1+2^2x)^-tfrac12;times;2^2x,2ln(2)
O fator tfrac12 cancela com o 2 que multiplica, restando
f'(x)=2^2xln(2)raiz1+2^2x

Resposta

f'(x)=2^2xln(2)raiz1+2^2x

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