4^{a} ) Uma determinada quantidade de carga elétrica está disposta de modo que produza o seguinte campo elétrico
\vec{E}(x, y, z)=c x \hat{\mathbf{i}}+d \hat{\mathbf{j}}
sendo c e d constantes. Qual é a quantidade de carga contida dentro de um cubo com lados de comprimento a que tem um canto na origem e cujos lados são paralelos aos planos x, y e z ?

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico
\vec{E}(x,y,z)=c\,x\,\hat{\mathbf{i}}+d\,\hat{\mathbf{j}}
onde c e d são constantes, e pede a carga total dentro de um cubo de aresta a com canto na origem e faces paralelas aos planos coordenados. Para resolver, vamos usar a forma diferencial da Lei de Gauss em eletrostática, que relaciona o divergente de \vec{E} à densidade volumétrica de carga \rho.

Passo 2

A forma diferencial da Lei de Gauss é
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Portanto, calculamos primeiro \nabla\cdot\vec{E}.

Passo 3

O divergente de \vec{E} é
\nabla\cdot\vec{E} =\frac{\partial}{\partial x}(c\,x) +\frac{\partial}{\partial y}(d) +\frac{\partial}{\partial z}(0) =c+0+0 =c.

Passo 4

Pela relação \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_{0}, temos
\rho=\varepsilon_{0}\,c.

Passo 5

A carga total Q contida no cubo é a integral da densidade \rho sobre o volume V=a^3:
Q=\int_{V}\rho\,dV =\rho\;a^{3} =\varepsilon_{0}\,c\,a^{3}.

Resposta

Q=\varepsilon_{0}\,c\,a^{3}.

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